1、单元素养评价(一) (第1章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.从x0到x1的平均变化率B.在x=x1处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间x0,x1上的导数【解析】选A.=表示函数从x0到x1的平均变化率.2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)【解析】选C.f(x)=(x-a)2+(x+2a)2(x-a)=3(x2-a
2、2).3.曲线y=x2-2x在点处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.60D.135【解析】选D.y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此倾斜角为135.4.已知函数f(x)=xcos x,则f=()A.0B.-1C.-D.【解析】选D.f(x)=cos x-xsin x,所以f=cos -sin =.5.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+在R上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是()A.a2C.-1a2D.a2【解析】选D.f(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的实数解,则=(6a)2-433(a+2)0,得a2.6.已知f(x)=2x4+3x3-3x2
3、-6x+a,g(x)为f(x)的导函数,则g(x)的单调增区间是()A.(-,-1)B.C.D.(-,-1),【解析】选D.g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6,g(x)=24x2+18x-6,令g(x)=0得x=-1或x=,令g(x)0得x,则g(x)的单调增区间为(-,-1),.【补偿训练】若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为_.【解析】f(x)=2x-2-=,由f(x)0得x2.答案:(2,+)7.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.(-1,0D.-1,0【解析】选C.f(x)=,令
4、f(x)0,得-1x1,即函数f(x)的单调增区间为(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上单调递增,所以解得-1m0.8.已知函数f(x)=xcos x-sin x,若存在实数x0,2,使得f(x)t成立,则实数t的取值范围是()A.(-,-)B.(-,+)C.(0,)D.(,2)【解析】选B.因为存在实数x0,2,使得f(x),f(x)=cos x+x(-sin x)-cos x=-xsin x,令f(x)=0得x=0或x=或x=2.列表x0(0,)(,2)2f(x)0-0+0f(x)0极小值2当x=时,f(x)有极小值也是f(x)的最小值,所以f(x)min=f()=-.故t-.二、
5、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列求导运算正确的是()A.(cos x)=-sin xB.= cosC.=-D.(e2x)=e2x【解析】选AC.A中,(cos x)=-sin x,B中=0,C中=-,D中(e2x)=2e2x.【补偿训练】已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:f(x)=axg(x)(a0,a1);g(x)0;f(x)g(x) f (x)g(x),若+=,则logax1成立的x的取值范围是_.【解题指南】根据题目中所给的条件判断a的
6、取值范围,求出a的值,最后解不等式.【解析】由, =ax,由,=0,即axln a0, 所以0a1=logaa,0xa,故0x0时为增函数,结合选项知0x或x0,则此时无解;若a0,则所以-a0),则y=f(x)()A.在区间内有零点B.在区间(1,e)内有零点C.在区间内无零点 D.在区间(1,e)内无零点【解析】选BC.因为f(x)=x-lnx(x0),所以f(e)=e-10, f=+10,所以f(x)在(1,e)内有零点,在内无零点.12.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)
7、B.函数f(x)有极大值f(-2)C.函数f(x)极小值f(-2)D.函数f(x)有极小值f(2)【解析】选BD.由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=x2+2cos x,则曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程为_.【解析】f(x)=2x-2sin x,则f()=2-0=2,又f()=2-2,所以切线方程为y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2.答案:y=2x-2-2【补
8、偿训练】 已知函数f(x)=x3-x2+x(a0),则f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率最大时的切线方程是_.【解析】f(x)=x2-x+1,故f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率k=2-,显然当a=1时,a+最小,k最大为0,又f(1)=,所以切线方程为y=.答案:y=14.周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_.【解析】设矩形的长为x,则宽为10-x(0x0,当x时,V(x)0,且当x趋向于-时,g(x)趋向于0,所以0a,即a的取值范围是(-,0.答案:-1(-,016.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲
9、线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是_.【解析】设点A(x0,y0),则y0=ln x0.又y=,当x=x0时,y=,曲线y=ln x在点A处的切线为y-y0=(x-x0),即y-ln x0=-1,代入点(-e,-1),得-1-ln x0=-1,即x0ln x0=e,考查函数H(x)=xln x,当x(0,1)时,H(x)0,且H(x)=ln x+1,当x1时,H(x)0,H(x)单调递增,注意到H(e)=e,故x0ln x0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,故点A的坐标为A(e,1).答案:(e,1)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时
10、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取极小值,x=时取极大值.(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程.(2)求函数y=f(x)在-2,1上的最大值与最小值.【解析】(1)f(x)=-3x2+2ax+b.又x=-1,x=分别对应函数取得极小值、极大值,所以-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根.所以a=-1+,-=(-1).于是a=-,b=2,则f(x)=-x3-x2+2x.当x=-2时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上.又切线斜率k=f(-2)=-8,所求切线方程为y-2=-8
11、(x+2),即为8x+y+14=0.(2)列表如下:x-2(-2,-1)-11f(x)-0+0-f(x)2-则f(x)在-2,1上的最大值为2,最小值为-.18.(12分)已知函数f(x)=ln x+,a为常数.(1)若a=,求函数f(x)在1,e上的值域.(e为自然对数的底数,e2.72)(2)若函数g(x)=f(x)+x在1,2上为单调减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意f(x)=-,当a=时,f(x)=-=.因为x1,e,所以f(x)在1,2)上为减函数,2,e上为增函数,又f(2)=ln 2+,f(1)=,f(e)=1+,比较可得f(1)f(e),所以f(x)的值域为.(2
12、)由题意得g(x)=-+10在x1,2上恒成立,所以a+(x+1)2=x2+3x+3恒成立,设h(x)=x2+3x+3(1x2),所以当1x2时,h(x)=2x+3-0恒成立,所以h(x)max=h(2)=,所以a,即实数a的取值范围是.19.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,所以d=-d,所以d=0(或由f(0)=0得d=0).所以f(x)=ax
13、3+cx,f(x)=3ax2+c,又当x=1时,f(x)取得极值-2,所以即解得所以f(x)=x3-3x.(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f(x)=0,得x=1,当-1x1时,f(x)0,函数f(x)为减函数;当x1时,f(x)0,函数f(x)为增函数;所以函数f(x)的单调增区间是(-,-1)和(1,+);单调减区间为(-1,1).因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.20.(12分)(2020全国卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)x3+1,求a的取值范围.【解析】(1)当a
14、=1时,f=ex+x2-x,f=ex+2x-1,由于f=ex+20,故f单调递增,注意到f=0,故当x时,f0,f单调递增.(2)由fx3+1得,ex+ax2-xx3+1,其中x0,当x=0时,不等式为:11,显然成立,符合题意;当x0时,分离参数a得,a-,记g=-,g=-,令h=ex-x2-x-1,则h=ex-x-1,h=ex-10,故h单调递增,hh=0,故函数h单调递增,hh=0,由h0可得:ex-x2-x-10恒成立,故当x时,g0,g单调递增;当x时,g0,g单调递减,因此,=g=,综上可得,实数a的取值范围是.21.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球
15、面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设BAO=,0,圆锥的侧面积为S cm2.(1)求S关于的函数关系式.(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.【解析】(1)设AO交BC于点D,过O作OEAB,垂足为E,在AOE中,AE=10cos ,AB=2AE=20cos ,在ABD中,BD=ABsin =20cos sin ,所以S=220sin cos 20cos =400sin cos2.(2)要使
16、侧面积最大,由(1)得:S=400sin cos2=400(sin -sin3),设f(x)=x-x3(0x0,当x时,f(x)0,所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以f(x)在x=时取得极大值,也是最大值;所以当sin =时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos =20=20=.答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为 cm.22.(12分)(2019江苏高考)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.(2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在
17、集合-3,1,3中,求f(x)的极小值.(3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M.【解析】(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f(x)=3(x-b).令f(x)=0,得x=b或x=.因为a,b,都在集合-3,1,3中,且ab,所以=1,a=3,b=-3.此时f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如
18、下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1=,x2=.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=f(x1).因为0b1,所以x1(0,1).当x(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x(0,1),则g(x)=3(x-1).令g(x)=0,得x=.列表如下:xg(x)+0-g(x)极大值所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g=.所以当x(0,1)时,f(x)g(x),因此M.
