1、课时作业26空间向量与空间角时间：45分钟基础巩固类一、选择题1若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(A)A30 B150C30或150 D不能确定解析：异面直线的夹角的取值范围是(0，90，故选A.2已知直线l1的方向向量s1(1,0,1)与直线l2的方向向量s2(1,2，2)，则l1和l2夹角的余弦值为(C)A. B.C. D.解析：因为s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，所以coss1，s2.又两直线夹角的取值范围为(0，所以l1和l2夹角的余弦值为.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则
2、异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(D)A.B.C.D.解析：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，即A1B与AC所成角的余弦值是.4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值是(C)A B.C. D.解析：依题意，建立如下图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.故选C.5如下
3、图所示，直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为(D)A.B. C.D.解析：以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，(1,0,2)，所以0，所以QP与AM所成角为.6三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为(C)A. B.C.或 D.或解析：如图所示，当二面角ABDC为锐角时，n1，n2；当二面角
4、ABDC为钝角时，n1，n2.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(B)A. B.C. D.解析：建系如右图，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，0)，F(0，1)，B1(1,1,1)(0,1,0)，(0，1)，(1，0)设平面A1EF的一个法向量为n(x，y，z)，则，即.令y2，则.n(1,2,1)，cosn，.设A1B1与平面A1EF的夹角为，则sin|cosn，|，即所求线面角的正弦值为.8如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2，点E是AB上一点，当二
5、面角PECD的平面角为时，则AE等于(D)A1 B.C2 D2解析：以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AEm.D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)，C(0,2,0)，可取平面ABCD的一个法向量n1(0,0,1)，设平面PEC的法向量为n2(a，b，c)，(0,2，1)，(1，m2,0)，则令b1得n2(2m,1,2)|cosn1，n2|.m2或m2(舍去)即AE2.二、填空题9若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，且m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为或.解析：cosm，n
6、.二面角的余弦值为或.10如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD90，且PAAD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为，则cos.解析：设正方形ABCD的边长为2，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，则(2,2,0)，(1,2，1)，所以cos.11将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：ACBD；AB、CD所成角为60；ADC为等边三角形；AB与平面BCD所成角为60.其中真命题是.(请将你认为是
7、真命题的序号都填上)解析：如图取BD中点O，连接AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BDAC；如下图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，故(a，a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,0)，故(0，a，a)，由两向量夹角公式得：cos，故两异面直线所成的角为；在直角三角形AOC中，由AOCOa解得：ACAOa，故三角形ADC为等边三角形易知ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得：ABO45，故错三、解答题12如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2
8、)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)(1)易得(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0，y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二
9、面角的大小为.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.13如图，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分别为CE，AB的中点(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值解：(1)DBBA，平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系ACBC4，C(0,0,
10、0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，(4,4,0)，(4,0,4)cos，异面直线AB与CE所成角的大小为.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，则由，可得，令x2，则y1，z1，n(2,1,1)设直线CD与平面ODM所成的角为，则sin|cosn，|，直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.能力提升类14如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos，则(C)A1 B.C. D.解析：不
11、妨设BC1，AB，则.记a，b，c，则ba，cb，根据题意，|a|c|1，|b|，abbcca0，b22，而|，|，|cos，|，解得.故选C.15如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证： CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值解：(1)证明：如图所示，取CD中点E，连接BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量为n(x，y，z)，则，即.取y2，可得平面AB1C的一个法向量为n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin|cos，n|，解得k1或k1(舍去)故k的值为1.
