1、用空间向量解决立体几何中的平行问题 A组学业达标1若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(3，6,6)，则()Al1l2Bl1l2Cl1，l2相交但不垂直 D不能确定解析：a(1,2，2)，b(3，6,6)，b3a，l1l2.答案：A2.在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1个单位长度的正方体，给出下列结论：直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：DD1AA1，(0,0,1)；BC1AD1，(0
2、,1,1)，直线AD平面ABB1A1，(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，错答案：C3若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(4，8,4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确解析：uv，.答案：A4在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.0 B.0C.0 D.0解析：PA平面ABCD，BDPA.又ACBD，PCBD.故选项B正确，选项A和D显然成立故选C.答案：C5已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交解析
3、：因为(9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)，所以AB平面yOz.答案：C6已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.解析：l，(2，m,1)0，即2m20，m8.答案：87已知，为两个不重合的平面，设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,4，8)垂直，则平面与的位置关系是_解析：b2a，ab.平面与向量a垂直，所以平面与向量b也垂直而平面与向量b垂直，.答案：平行8在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)；.答案：9.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD.
4、试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解析：PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(0，0)，P(0,0,1)，E，B(1,0,0)，C(1，0)，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即令y1，则xz，平面ACE的一个法向量为n(，1，)10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明：(1)建立如图所示的空间直
5、角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得解得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.B组能力提升11已知平面内有一个点A(
6、2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C. D.解析：若点P在平面内，则n，即n0.对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C、D.答案：B12在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，M(2,1,1)，N(1,1,2)，(1,0,1
7、)又平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，1001100，n，MN平面BB1C1C.故选B.答案：B13.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的是_解析：，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确答案：14若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量为a(x，y，z)，则xyz_.解析：(3,2,0)解得xyzx(2x)23(4)答案：23(4)15.如图所示，ABCD为矩形，PA平面AB
8、CD，PAAD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点求证：(1)MNPAD；(2)平面QMN平面PAD.证明：(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以.因为平面PAD的一个法向量为m(1,0,0)，所以m0，即m.又因为MN不在平面PAD内，故MN平面PAD.(2)(0，d,0)，m，又QN不在平面PAD内，又QN平面PAD.又因为MNQNN，所以平面MNQ平面PAD.16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：法一：，是共面向量又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二：()，.又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法三：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)于是，(1,0,1)，(1,1,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则得取x1，得y1，z1，n(1，1，1)n(1，1，1)0，n.又MN平面A1BD，MN平面A1BD.
