1、第八章 平面解析几何第七节 双曲线基础梳理1双曲线的定义(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离_(|F1F2|2c0)为非零常数2a(2a0，c0.当_时，M 点的轨迹是双曲线；当_时，M 点的轨迹是两条射线；当_时，M 点不存在2a|F1F2|2双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围_对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1_，A2_顶点坐标：A1_，A2_性质渐近线y_y_xa或xaya或ya(a，0)(a，0)(0，a)(0，a)baxabx离心率eca，e_性质实、虚轴线
2、段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a，b，c 间的关系c2_(ca0，cb0)(1，)2a2ba2b21在双曲线的定义中，|MF1|MF2|2a，表示靠近 F2 的一支，|MF2|MF1|2a，表示靠近 F1 的一支2双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长3方程x2my2n1(mn0)表示的曲线(1)当 m0，n0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线(2)当 m0，n0 时，则表示焦点在 y 轴上的双曲线4方程的常见设法(1)与双曲线x2a2y2b21 共渐近线的方程可设
3、为x2a2y2b2(0)(2)若渐近线的方程为 ybax，则可设双线曲方程为x2a2y2b2(0)四基自测1(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆x24 y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()Ax2y231 Bx23 y21Cx2y221 D.x24 y231答案：A2(基础点：双曲线的定义)若双曲线 E：x29 y2161 的左、右焦点分别为 F1、F2，点P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D.3答案：B3(基础点：双曲线的渐近线)双曲线 x2y231 的渐近线方程为_答案：y 3x4(基础点：双曲线的焦距)双曲线x23 y221 的焦距
4、为_答案：2 5考点一 双曲线的定义及应用挖掘 1 利用定义求双曲线方程/自主练透例 1(1)已知两圆 C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是()Ax0 Bx22 y2141(x 2)C.x22 y2141 D.x22 y2141 或 x0解析 动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种情况：动圆 M 与两圆都外切；动圆 M 与两圆都内切；动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；动圆 M 与圆 C1 内切、与圆 C2 外切在情况下，显然，动圆圆心 M 的轨迹方程为 x0；在的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则
5、|MC1|r 2，|MC2|r 2.故得|MC1|MC2|2 2；在的情况下，同理得|MC2|MC1|2 2.由得|MC1|MC2|2 2.已知|C1C2|8，根据双曲线定义，可知点 M 的轨迹是以 C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且 a 2，c4，b2c2a214，其方程为x22 y2141.故选 D.答案 D(2)已知动圆 M 与圆 C1：(x4)2y22 外切，与圆 C2：(x4)2y22 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x22 y2141(x 2)Bx22 y2141(x 2)C.x22 y2141(x 2)D.x22 y2141(x 2)解析 设动圆的半径为
6、r，由题意可得|MC1|r 2，|MC2|r 2，所以|MC1|MC2|2 22a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为 2a2 2的双曲线的右支上，即 a 2，c4b216214，故动圆圆心M 的轨迹方程为x22 y2141(x 2)答案 A挖掘 2 利用定义求点到焦点的距离/互动探究例 2(1)(2020陕西师大附中模拟)设过双曲线 x2y29 右焦点 F2 的直线交双曲线的左支于点 P，Q，若|PQ|7，则F2PQ 的周长为()A19 B26C43 D.50解析 如图所示，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，|QF2|QF1|2a，得|
7、PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ 的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.答案 B(2)(2020河南郑州一模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为 6，渐近线方程为 y13x，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：x2(y 6)21 上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9C10 D.11解析 由题意知 2a6，则 a3，又由ba13得 b1，所以 c a2b2 10，则F1(10，0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5
8、|F1E|5（10）2（6）259，当且仅当 F1，M，N，E 共线时取等号，故选 B.答案 B(3)已知双曲线 C：x216y2b21(b0)，F1、F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l分别交 C 的左、右支于点 A、B，且|AF1|BF1|，则|AB|()A4 B8C16 D32解析 由双曲线定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，|AB|4a，由双曲线方程知 a4，|AB|16，故选 C.答案 C破题技法 应用双曲线定义时要注意(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值
9、”，否则轨迹是一支(2)2aa0，cb0)考点二 双曲线的方程及性质挖掘 1 利用双曲线的性质求方程/自主练透例 1(1)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2(y2)21 相切的双曲线的标准方程为()A.x2113y2111 Bx22 y21C.y2113x2111 D.y211x21131解析 法一：设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由渐近线与圆 x2(y2)21 相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径 1，由点到直线的距离公式可得|k02|k21 1，解得 k 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)
10、，将(2，1)代入可得 4a2 1b21，由 4a2 1b21，ba 3得a2113，b211，故所求双曲线的标准方程为x2113y2111.故选 A.法二：设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn1.双曲线的渐近线方程为 ymnx，圆 x2(y2)21 的圆心为(0，2)，半径为 1，由渐近线与圆 x2(y2)21 相切，可得21mn1，即mn3，由可得 m 311，n 111，所以该双曲线的标准方程为x2113y2111.选 A.答案 A(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是 y13x，则双曲线的方程是_解析 设双曲线的方程是 y2x29.因为双
11、曲线过点(3，2)，所以 2991.所以双曲线的方程为 y2x29 1.答案 y2x29 1(3)(2020成都模拟)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是_解析 法一：椭圆x227y2361 的焦点为(0，3)和(0，3)，双曲线的焦距为 2c6.由双曲线的定义得（15）2（43）2（15）2128442a.a2，b2c2a2945，双曲线方程为y24x25 1.法二：设双曲线的方程为x227y2361(270，b0)的右焦点，O为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，
12、则 C的离心率为()A.2B 3C2 D.5解析 设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c2.由|OM|2|MP|2|OP|2 得c22c22a2，故ca 2，即 e 2.故选 A.答案 A(2)(2019高考全国卷)双曲线 C：x24 y221 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.3 24B3 22C2 2D.3 2解析 双曲线x24 y2
13、21 的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为 y 22 x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|PF|，则点 P 的横坐标为 62，纵坐标为 22 62 32，即PFO 的底边长为 6，高为 32，所以它的面积为12 6 32 3 24.故选 A.答案 A破题技法 求离心率的方法方法解法题型直接法 直接求 a，b，c，利用 e ca或 e1（ba）2 适合易求 a、b、c构造法 构造 a、b、c 间的等式或不等式的齐次关系可能是 a、c 或 a、b 的关系挖掘 3 共焦点的椭圆与双曲线/自主练透例 3(1)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线 C2：x2n2y21(n0)的焦
14、点重合，e1，e2，分别为 C1，C2 的离心率，则()Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 D.mn 且 e1e21解析 设 P 为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，F1，F2 为它们的左、右公共焦点，则|PF1|PF2|2m，|PF1|PF2|2n，mn，由结论一得1e211e222，法一：(利用均值不等式)e1e2，21e211e22 2e1e2，e1e21，故选 A.法二：(利用三角换元)由1e211e222，0e11，e21，可设1e1 2cos，1e2 2sin，04，则 e1e21sin 21.法三：(利用消元法)1e211e222，1e2221e
15、21，1e21e221e412e211e211 21，由 0e11，e21 且1e211e222，得 11e212，令 t1e21，f(t)(t1)21，则 1e21e22f(t)，t(1，2)，f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)1，f(2)0，故 0 1e21e221，即 e1e21.答案 A(2)已知 F1，F2 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且F1PF23，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()A.33B 32C1 D.3解析 由结论二得1e213e224，同(1)的三种方法均可得到 e1e2 32，故选 B.答案 B破题技法 1.已知椭圆 C1：x2a21y2b211(其中 a1b10)与双曲线 C2：x2a22y2b221(其中a20，b20)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则b22e21b21e22b21b22.2已知 F1，F2 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且F1PF2，e1，e2 分别为椭圆和双曲线的离心率，则1cose211cose222.
