1、模块综合检测(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1满足i(i为虚数单位)的复数z等于A.iB.iCi Di解析i，zizi，iz(i1)z.答案B2曲线y3xx3上切点为P(2，2)的切线方程是Ay9x16 By9x20Cy2 Dy9x16或y2解析导数y33x2，则切线斜率k33229，所以切线方程为y(2)9(x2)，即切线为y9x16，选A.答案A3已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(
2、c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数又abf(b)f(a)，选C.答案C4已知复数z满足|z| ，且(12i)z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线yx上，则zA3i B3iC3i或3i D3i或3i解析设zxyi(x，yR)，|z|，x2y210，又(12i)z(12i)(xyi)(x2y)(2xy)i，且(12i)z在复平面上对应的点在直线yx上，x2y2xy，即x3y，联立，解得或，即z(3i)答案C5若P，Q(a0)
3、，则P，Q的大小关系为APQ BPQCPQ D由a的取值确定解析要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a72与2a72的大小，只需比较a27a与a27a12的大小，即比较0与12的大小，而012.故PQ.答案C6求证：1.证明：要证1，只要证1，即证7251121，即证，即证3511，3511恒成立，原式成立以上证明过程应用了A综合法 B分析法C综合法、分析法配合使用 D间接证法解析由分析法的特点知应用了分析法答案B7如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.B.C.D.解析阴影部分的面积为(x)dx，故所求的概率P，故选C.答案C8
4、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，这样的数称为“正方形数”如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是13310；25916；361521；491831；642836.A B C D解析这些“三角形数”依次是1，3，6，10，15，21，28，36，45，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：152136，283664，只有是对的答案C9已知a0，若函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的最大值是A0 B1 C2 D3解析函数f(x)
5、的导数f(x)3x2a，要使函数f(x)在1，)上是单调递增函数，则有f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a(3x2)min.又3x23，所以a3，即a的最大值是3.答案D10已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析因为yx281，所以当x9时，y0；当0x0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案C11已知函数f(x)x3a
6、x2x2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(1，1)内，则实数a的取值范围是A(0，2 B(0，2) C，2) D(，2)解析由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1，1)内因为f(x)3x22ax1，所以根据导函数图象可得，又a0，解得ak1，则下列结论中一定错误的是AfCf解析令g(x)f(x)kx1，则g(0)f(0)10，gfk1f.g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上为增函数又k1，0，gg(0)0，f0，即f.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_解析等式的左边的通项为，前n项
7、和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.答案114已知复数(12i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线ymxn上，其中mn0，则的最小值为_解析由题意得(12i)i2i，所以M(2，1)，代入直线方程得2mn1，则()(2mn)332，当且仅当时等号成立答案3215如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_解析由题意知，阴影部分的面积S(4x2)dx，所求概率P.答案16设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x0，时，0f(x)1，当x(
8、0，)且x时，(x)f(x)0，则方程f(x)cos x在2，2上的根的个数为_解析由(x)f(x)0知，当x时，导函数f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递减；当0x0，函数f(x)在(0，)上单调递增由题意可知函数f(x)的草图如图所示，由图象可知方程f(x)cos x在2，2上的根的个数为4.答案4三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)用反证法证明：如果x，那么x22x10.证明假设x22x10，则x1.容易看出1，下面证明1.要证：1，只需证：，只需证：2.上式显然成立，故有1.综上，x1相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成
9、立18(12分)已知：m0，n0，.证明证法一(分析法)：因为m0，所以m10，要证，只需证：m(n1)n(m1)，即只需证：mn.因为m0，1，所以nn成立所以原不等式成立证法二(比较法)：因为，因为m0，1，所以n0，m10，所以0，所以0，原不等式成立19(12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解析设存款利率为x，则应有x(0，0.048)，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，所以银行
10、的收益是y0.048kx2kx3，由于y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)，又当0x0.032时，y0；当0.032x0.048时，y0，所以当x0.032时，y取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益20(12分)已知数列an的前n项和为Sn，a1，Snan2(n2，nN)(1)求S2，S3，S4的值；(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解析(1)S1a1，因为Snan2(n2，nN)，令n2可得S2a22S2a12，所以2，所以S2.同理可求得S3，S4.(2)猜想Sn，nN，下面用数学归纳法证明：当n1时，S1a1，猜想成立；假设当n
11、k(kN*)时猜想成立，即Sk，则当nk1时，因为Snan2，所以Sk1ak12，所以Sk1Sk1Sk2，所以2，所以Sk1，所以当nk1时，猜想仍然成立综合可得，猜想对任意正整数n都成立，即Sn，nN成立21(12分)(2018北京)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.()若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；()若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解析()因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.()由()得f(x
12、)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10，所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.答案(1)1(2)22(12分)(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解析(1)f(x)的定义域为(0，1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0，1)，(1，)单调递增因为f(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)证明因为eln x0，所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即ln x0，故直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线yln x在点A(x0ln x0)处的切线也是曲线yex的切线
