1、一元二次不等式的解法探究问题1当a0时，若方程ax2bxc0有两个不等实根，且0的解集是什么？提示借助函数f(x)ax2bxc的图象可知，不等式的解集为x|x2若探究1中的a0的解集是什么？提示解集为x|x3若一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac0的解集是什么？提示当a0时，不等式的解集为R；当a0，得x2.对于方程2x2(2k5)x5k0有两个实数解x1，x2k.(1)当k，即k时，不等式的解集为，显然2.(2)当k时，不等式2x2(2k5)x5k0的解集为.(3)当k，即k时，不等式的解集为.不等式组的解集由或确定原不等式组整数解只有2，2k3，故所求k的范围是3k2.(变条件，变
2、结论)若将例题改为“已知aR，解关于x的不等式ax22xa0”解(1)若a0，则原不等式为2x0(2)若a0，44a2.当0，即0a1时，方程ax22xa0的两根为x1，x2，原不等式的解集为.当0，即a1时，原不等式的解集为.当1时，原不等式的解集为.(3)若a0，即1a0，原不等式的解集为x|xR且x1当0，即a1时，原不等式的解集为R.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a0；当1a0时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为x|xR且x1；当a0(a0)或ax2bxc0)的形式；求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.(2)含参数
3、的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题【例2】已知不等式mx2mx10.(1)若xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x1,3时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题解(1)若m0，原不等式可化为10，显然恒成立；若m0，则不等式mx2mx10 恒成立解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，当m0时，f(x)10时，若对于x1,3不等式恒
4、成立，只需即可，解得m，0m.当m0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，若x1,3时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)0即可，解得mR，m0符合题意综上所述，实数m的取值范围是.(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，若对满足|m|2的一切m的值不等式恒成立，则只需 即解得x.实数x的取值范围是.对于不等式恒成立求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.(2)分离参数法若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.(3)数形结合法利用不等式与函数的关系
5、将恒成立问题通过函数图象直观化.1设f(x)mx2mx6m，(1)若对于m2,2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)0，所以g(m)在2,2上递增，所以欲使f(x)0恒成立，需g(m)maxg(2)2(x2x1)60，解得1x2.(2)法一：要使f(x)m(x2x1)60在1,3上恒成立，则有m在1,3上恒成立，而当x1,3时，所以mmin，因此m的取值范围是.法二：当m0时，f(x)60，则f(x)在1,3上单调递增，要使f(x)0对x1,3恒成立，只需f(3)0即7m60，所以0m.若m0，则f(x)在1,3上单调递减，要使f(x)0对x1,3恒成立，只需
6、f(1)0即m6，所以m0.综上可知m的取值范围是.利用基本不等式求最值【例3】设函数f(x)x，x0，)(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a0，0，x12，当且仅当x1，即x1时，f(x)取等号，此时f(x)min21.(2)当0a1时，f(x)x11，若x12，则当且仅当x1时取等号，此时x10，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab解“定和求积，积最大”问题.(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)x(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.2某种商品原来每件
7、售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解(1)设每件定价为t元，依题意，有8(t25)0.2t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元
