1、广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，2，B=x|（x2）（x3）=0，则AB=（）A2B1，2，3C1，3D2，32（5分）在复平面内复数Z=i（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知an为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A40B45C50D554（5分）以下四个函数y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A4B3C2D15（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直
2、线y=x+1平行，则它的离心率为（）ABCD6（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D7（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A180B144C48D608（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2481632”的值，则判断框内可以填入（）Ak10Bk20Ck30Dk409（5分）已知直线l平面，直线m平面，有如下四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与10（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，bG，
3、a0b=c，则cG，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A=x|x2=1，A对于数的乘法作成一个封闭集合以下四个结论：集合0对于加法作成一个封闭集合；集合B=x|x=2n，n为整数，B对于数的减法作成一个封闭集合；集合C=x|0x1，C对于数的乘法作成一个封闭集合；令是全体大于零的实数所成的集合，R对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A4B3C2D1二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分25分）（一）（必做题）：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为12（
4、5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，B=45o，ABC的面积S=2，则c边长为，b边长为13（5分）不等式|x4|x|的解集是14（5分）已知圆C的极坐标方程为=2cos，直线l的极坐标方程为=，则圆心到直线l的距离等于15（5分）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（1）求f（）的值；（2）若cos=，（0，），求f（2）17（12分）在一次无放回的抽奖活动中，已知箱中装有除颜色不同外，形状、大小、
5、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个蓝球，且混淆均匀，规定：取出一个红球得3分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得1分现从箱中任取2个球（1）求取出的球1红1黄的概率；（2）求得分之和为4分的概率18（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，BAC=90，点D是棱B1C1的中点（）求证：A1D平面BB1C1C；（）求证：AB1平面A1DC；（）求二面角DA1CA的余弦值19（14分）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足4Sn=a+2an（1）求a1的值；（2）求an的通项公式；（3）求证：+2，nN20（14分）已知函数f（x）=x3+b
6、x2+cx的极值点为x=和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x1，2时，不等式f（x）m恒成立，求实数m的取值范围21（14分）已知椭圆+=1（ab0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2（1）求椭圆的标准方程（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
7、符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，2，B=x|（x2）（x3）=0，则AB=（）A2B1，2，3C1，3D2，3考点：并集及其运算 专题：集合分析：利用并集的性质求解解答：解：集合A=1，2，B=x|（x2）（x3）=0=2，3，AB=1，2，3故选：B点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题2（5分）在复平面内复数Z=i（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，bR）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案解答：解：复数Z=i（12i）=
8、2+i复数Z的实部20，虚部10复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，bR）的形式，是解答本题的关键3（5分）已知an为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A40B45C50D55考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得a1+a10=8，由求和公式可得S10=，代值计算可得解答：解：由等差数列的性质可得a1+a10=a3+a8=8，S10=40故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题4（5分）以下四个函数
9、y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A4B3C2D1考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义即可得到结论解答：解：四个函数中，只有y=，y=2sinx是奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础5（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线方程，求出渐近线方程，由两直线平行的条件得到=，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到解答：解：设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
10、的方程为=1，渐近线方程为y=x，由于一条渐近线与直线y=x+1平行，则=，令a=2t，b=t，则c=t，则离心率e=故选D点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题6（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：=（k，3），=（1，4），=（2，1）23=（2k3，6），（23），（23）=02（2k3）+1（
11、6）=0，解得，k=3故选：C点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错7（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A180B144C48D60考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=66=36，棱锥的侧高为为5，则棱锥的高h=4，故棱锥的体积V=48，故选：C点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的
12、三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力基础题8（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2481632”的值，则判断框内可以填入（）Ak10Bk20Ck30Dk40考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2481632五个数的积故程序只需运行5次运行5次后，k值变为32，即可得答案解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2481632”之值，以后所乘的数依次为4，8，16，32，2481632五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为32，故结合选项，
13、判断框中应填k40，或者k32故选：D点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果，属于基本知识的考查9（5分）已知直线l平面，直线m平面，有如下四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据面面平行的性质判断利用面面垂直的性质判断利用面面垂直的判定定理判断利用面面平行的判定定理判断解答：解：根据面面平行的性质可知，若，当l时，有l，因为m，所以lm成立，所以正确若，当l时，有l或l，无法判断
14、，l与m的位置关系，所以错误若lm，当l时，则m，因为m，所以，所以正确若lm，m，则l和关系不确定，所以不一定成立，所以错误故选B点评：本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理10（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，bG，a0b=c，则cG，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A=x|x2=1，A对于数的乘法作成一个封闭集合以下四个结论：集合0对于加法作成一个封闭集合；集合B=x|x=2n，n为整数，B对于数的减法作成一个封闭集合；集合C=x|0x1，C对于数的乘法作成
15、一个封闭集合；令是全体大于零的实数所成的集合，R对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A4B3C2D1考点：命题的真假判断与应用 专题：集合；简易逻辑分析：由于0+0=0，可得集合0对于加法作成一个封闭集合；2n1，2n2B=x|x=2n，n为整数，（n1，n2Z），则2n12n2=2（n1n2）B，即可判断出；a，bC=x|0x1，则0ab1，即可判断出；a，bR，则ab0即可判断出解答：解：0+0=0，集合0对于加法作成一个封闭集合，正确；2n1，2n2B=x|x=2n，n为整数，（n1，n2Z），则2n12n2=2（n1n2）B，因此对于数的减法作成一个封闭集合；a，b
16、C=x|0x1，则0ab1，因此C对于数的乘法作成一个封闭集合，正确；a，bR，则ab0因此R对于数的乘法作成一个封闭集合其中，正确结论的个数是4故选：A点评：本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用，考查了推理能力，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分25分）（一）（必做题）：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z
17、=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=3x+z的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=03+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，B=45o，ABC的面积S=2，则c边长为4，b边长为5考点：正弦定理的应用 分析：根据三角形的面积公式可求出c的长度，再由余弦定理可求出边b的长度解答：解：a=1，B=45o根据三角形的面积公式可得：S=acsinB=1c=2c=4根据余弦定理可得：b2=a2+c22
18、accosB=25b=5故答案为：4，5点评：本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用属基础题13（5分）不等式|x4|x|的解集是x|x2考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：方法一、将不等式|x4|x|两边平方，化简整理，即可得到解集；方法二、根据绝对值的几何意义，即可得到解集解答：解法一：|x4|x|（x4）2x2168x0x2解法二：根据绝对值的几何意义，不等式|x4|x|表示数轴上x到4的距离不小于到0的距离，则有x2成立则解集为x|x2故答案为：x|x2点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，解题的关键是去掉绝对值，还考查了不等式的一般解法，解题的关
19、键是去掉绝对值，此类题目是2015届高考常见的题型14（5分）已知圆C的极坐标方程为=2cos，直线l的极坐标方程为=，则圆心到直线l的距离等于考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：由圆C的极坐标方程为=2cos，可得2=2cos，化为x2+y2=2x，（x1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）直线l的极坐标方程为=，可得直角坐标方程：圆心到直线l的距离d=故答案为：点评：本题考查了把极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题15（5分）如图所示，圆O上一点C在直径
20、AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于5考点：直角三角形的射影定理 专题：计算题；压轴题分析：先利用AB为圆的直径，判断出ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求解答：解：AB为圆的直径，ACB=90在RtABC中由射影定理可知CD2=BDAD，16=8AD，AD=2，半径=5故答案为：5点评：本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（1）求f（）的值；（2）若cos=
21、，（0，），求f（2）考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：（1）把x=代入函数解析式即可（2）根据函数解析式求得f（2）的表达式并利用两角和公式整理，根据cos的值，求得sin的值，进而根据二倍角公式分别求得sin2和cos2的值，代入f（2）的解析式解答：解：（1）f（）=sin（+）=sin（）=（2）f（2）=sin（2+）=sin（2）=（sin2cos2），因为cos=，（0，），所以sin=，所以sin2=2sincos=，cos2=cos2sin2=，所以f（2）=（sin2cos2）=（）=点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用考查了学生对基础知识的
22、灵活运用17（12分）在一次无放回的抽奖活动中，已知箱中装有除颜色不同外，形状、大小、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个蓝球，且混淆均匀，规定：取出一个红球得3分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得1分现从箱中任取2个球（1）求取出的球1红1黄的概率；（2）求得分之和为4分的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）画出树状图，然后求出取出的球1红1黄的情况数和求出全部情况的总数之比即可求得；（2）画出树状图，然后求出得分之和为4分的情况数和求出全部情况的总数之比即可求得；解答：解：设3个球为红1、红2、红2，2个黄球为黄1、黄2，则列出树状图为如下：从树状
23、图可以看到，基本事件总数为20种，（1）设取出的球1红1黄的事件为A，故p（A）=；（2）设得4分的事件为B，当得4分时，取出的球为1红1蓝或者为2个黄球，而1红1蓝的事件有4种，2个黄球的事件有2种，故p（B）=点评：考查有关概率的计算公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比18（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，BAC=90，点D是棱B1C1的中点（）求证：A1D平面BB1C1C；（）求证：AB1平面A1DC；（）求二面角DA1CA的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：综合题分
24、析：（I）由已知中侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA1平面ABC，即三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，再由点D是棱B1C1的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即可得到A1D平面BB1C1C；（）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得ODAB1，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB1平面A1DC；（）因为AB，AC，AA1两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA1C与平面A1CA的法向量，代入向
25、量夹角公式，即可得到答案解答：（）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1AC，AA1AB，所以AA1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱因为A1D平面A1B1C1，所以CC1A1D又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1DB1C1因为CC1B1C1=C1，所以A1D平面BB1C1C（）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，所以OD为AB1C1中位线，所以AB1OD，因为OD平面A1DC，AB1平面A1DC，所以AB1平面A1DC（）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方
26、形，BAC=90，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系Axyz设AB=1，则.，（9分）设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有，x=y=z，取x=1，得n=（1，1，1）又因为AB平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为，因为二面角DA1CA是钝角，所以，二面角DA1CA的余弦值为点评：本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关键，而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系19（14分）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足4Sn=a
27、+2an（1）求a1的值；（2）求an的通项公式；（3）求证：+2，nN考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）4Sn=a+2an令n=1，可得+2a1，解出即可（2）当n2时，4an=4Sn4Sn1，化为（an+an1）（anan12）=0，可得anan1=2，利用等差数列的通项公式即可得出（3）当n=1时，=12成立当n2时，=利用“裂项求和”即可得出解答：（1）解：4Sn=a+2an令n=1，可得+2a1，a10，解得a1=2（2）解：当n2时，4an=4Sn4Sn1=，化为（an+an1）（anan12）=0，an0，an10，anan1=2，数列an是等差数
28、列，an=2+2（n1）=2n（3）证明：当n=1时，=12成立当n2时，=+=+1+=22点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x1，2时，不等式f（x）m恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）对函数进行求导，令f（1）=0，f（）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可（2）根据函数的单调性求出f（x）在1，2上的最大值，
29、继而求出m的范围解答：解：（1）f（x）=x3+bx2+cx，f（x）=3x2+2bx+c，f（x）的极值点为x=和x=1f（1）=3+2b+c=0，f（）=b+c=0，解得，b=，c=2，f（x）=（3x+2）（x1），当f（x）0时，解得x，或x1，当f（x）0时，解得x1，故函数f（x）的单调递增区间为（，）和（1，+），单调减区间为（，1），（2）有（1）知f（x）=x3x22x，x1，2，故函数在1，）和（1，2单调递增增，在（，1）单调递减，当x=，函数有极大值，f（）=，f（2）=2，所以函数的最大值为2，所以不等式f（x）m在x1，2时恒成立，故m2故实数m的取值范围为（2，+
30、）点评：本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系属中档题21（14分）已知椭圆+=1（ab0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2（1）求椭圆的标准方程（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，由圆和椭圆的对称性，知
31、，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，从而得到（x1+1）2+=0，由此能求出存在满足条件的圆，其方程为：=解答：解：（1）椭圆+=1（ab0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，解得，椭圆的标准方程为（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（1）知F1（1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（x11，y1），再由F1P1，得（x1+1）2+=0，由椭圆方程得1=（x1+1）2，即=0，解得或x1=0当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0），由CP1F1P1，得，而y1=|x1+1|=，故，圆C的半径|CP1|=综上，存在满足条件的圆，其方程为：=点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用
