1、民乐一中20212022学年第二学期高二年级3月教学质量检测理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.(1+3)i的实部与虚部分别是()A.1,3 B.1+3,0 C.0,1+3 D.0,(1+3)i2.设f(x)是可导函数,且limx0f(x0) - f(x0- x)x=2,则f(x0)等于( )A.2 B.-1 C.1 D.-23. 一物体沿直线以v=3t+2(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则该物体在3 s6 s间的运动路程为()A.46 m B.46.5 m C.87 m D.47 m4.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a(a+
2、3b)等于()A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.235.高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上一节课,如果甲、乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( )A.36 B.24 C.18 D.126.观察下列算式:22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,用你所发现的规律可得22019的末位数字是()A.2 B.4 C.6 D.87.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有()A.80种 B.90种 C.120种 D.150种8.对于
3、不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k2+kk+1；则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+20)上存在最大值,则实数a的取值范围是.三、解答题（共70分）17.(本小题满分10分)用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室.(1)若每间办公室粉刷什么颜色不作要求,有多少种不同的粉刷方法?(2)若一种颜色的粉刷3间,一种颜色的粉刷2间,一种颜色的粉刷1间,有多少种不同的粉刷方法?18.(本小题满分12分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且z
4、+z=1,求z;(2)已知复数z=5m212i -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数m的值.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.(1)求证:BC1平面AD1E;(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知函数 f(x)=x3+1.(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;(2)求过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.21.(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.求平面AB
5、M与平面PAC所成锐二面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数f (x)=ln x - 1x.(1)令g(x)=f(x)-2x,求g(x)的单调区间;(2)若直线l:y=ax+b是函数f(x)的图象的切线,且a,bR,求a+b的最小值.高二年级3月教学质量检测理科数学-答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.A6.D7.D8.D9.B10.C11.D12.B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.22.14.18.15.126016.(12,1)三、解答题（共70分）17.解:(1)根据题意,每间办公室粉刷什么颜色不要求,则
6、每间办公室都有3种选择,即共有333333=36=729种粉刷方法.(2)根据题意,先将办公室分为3组,分别为3间、2间、1间,有C63C32C11种分法,再将3组对应三种颜色,有A33种情况,由分步乘法计数原理可得,共有C63C32C11A33=360种粉刷方法.18.解:(1)设z=a+bi(a,bR),由题意得a2+b2=1,2a=1,解得a=12,b=32.因为复数z在复平面内对应的点在第四象限,所以b=-32,所以z=12-32i.(2)z=5m21-2i-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意,m2-m-6=0,解得m=3或-2.因为2m2-
7、5m-30,所以m3,m-12.所以m=-2.19.(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABDC,D1C1DC,所以A BD1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以BC1AD1.又AD1平面AD1E,BC1平面AD1E,所以BC1平面AD1E.(2)解:设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),所以AA1=(0,0,2),AD1=(2,0,2),AE=(0,2,1).设平面AD1E的一个法向量为n=
8、(x,y,z),由nAD1=0,nAE=0,得2x+2z=0,2y+z=0,令z=-2,则x=2,y=1,所以n=(2,1,-2).设直线AA1与平面AD1E所成的角为,则sin =|cos |=432=23.即直线AA1与平面AD1E所在角的正弦值为23.20.解：(1)由f(x)=3x2,切线方程的斜率k=f(0)=0,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1.(2)设切点的坐标为(x0,x03+1),则所求切线方程为y-(x03+1)=3x02(x-x0),代入点(1,1)的坐标得-x03=3x02(1-x0),解得x0=0或x0=32.当x0=32时,所求直线方程为27x-
9、4y-23=0,当x0=0时,所求直线方程为y=1,所以过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为27x-4y-23=0或y=1.21.解:因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又OP底面ABCD,以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),M(-1,0,2).故AB=(-2,1,0), BM=(-1,-1,2).设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),则nAB=-2x+y=0,nBM=-x-y+2z=0,令x=2,得n=(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为OB=(0,1,0),所以cos=nOB|n|OB|=429=42929.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为42929.22.解:(1)函数g(x)=f(x)-2x=ln x-1x-2x的定义域为(0,+),则g(x)=1x+1x2-2=-2x2+x+1x2.当0x0,函数g(x)为增函数;当x1时,g(x)0),则h(x)=x2+x-2x3=(x+2)(x-1)x3(x0),令h(x)0,解得0x0,解得x1,h(x)在区间(1,+)上为增函数,所以h(x)h(1)=-1.故a+b的最小值为-1.
