1、综合测评(四)圆与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F等于()A2 B4C6 D8解析：由圆的一般方程知，此方程表示的圆的圆心为，半径为，所以2，4，4，得D4，E8，F4，故选B.答案：B2关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：OP的中点坐标为；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2
2、，3)；点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，3)其中正确说法的个数是()A2 B3C4 D1解析：显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；显然正确答案：A3圆x2y24与圆x2y26x8y240的位置关系是()A相交 B相离C内切 D外切解析：圆x2y24的圆心为A(0,0)，半径为r2，圆x2y26x8y240的圆心为B(3，4)，半径为R7，因为|AB|5Rr72，故两圆内切答案：C4若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围是()AmCm0，得m.答案：A5在空间直角坐标系Oxyz中，z轴上的点M到点
3、A(1,0,2)与点B(1，3，1)的距离相等，则点M的坐标是()A(0,0，1) B(0,0,3)C(0,0，) D(0,0，)解析：设z轴上的点M(0,0，z)，得1202(z2)2(10)2(30)2(1z)2解得z1，所求的点为(0,0，1)答案：A6已知圆C：x2y24x2y10，直线l：3x4ym0，圆上存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是()A(17，7) B(3,13)C(17，7)(3,13) D17，73,13解析：当圆心到直线的距离d满足r1dr1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足13，解得m(17，7)(3,13)答案：C7点P(4，2)与圆x2y24上
4、任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)21D(x2)2(y1)21解析：设圆上任意一点坐标为(x1，y1)，其与点P所连线段的中点坐标为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.故选A.答案：A8若直线l：ykx1(k0)与圆C：(x2)2(y1)2 2相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：依题意，直线l与圆C相切，则，解得k1.又k0，所以k1.于是直线l的方程为xy10.圆心D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交，故选
5、A.答案：A9当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析：曲线y1是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点P(2,4)的直线设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即2，k0.又直线PA的斜率为k1，k1，实数k的取值范围是k.答案：C10在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2(y4)24，若直线xmy20上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：依题意，圆M的圆心为M(0,4)，半
6、径r2.若直线xmy20上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线l上至少存在一点P，使得|MP|22成立，又点M到直线l的距离为，则4，解得m，故选D.答案：D11从点A(2,1)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x2y24x6y90相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为()A. B.C2 D4解析：圆M：x2y24x6y90可化为(x2)2(y3)24，圆心为M(2,3)，半径r2.又点A(2,1)关于x轴的对称点为A(2，1)，则可设反射光线所在的直线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由反射光线正好与圆M相切，得2，即3k28k
7、30，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为，即所有反射光线所在直线的斜率之和为，故选B.答案：B12直线axby1(a，bR)与圆x2y22相交于A，B两点，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值是()A. B4C2 D.解析：由AOB是直角三角形，得AOB90，|OA|OB|，所以|AB|2，则圆心O(0,0)到直线axby1的距离为1，即3a2b21，从而b21.于是点P(a，b)与点(0,1)之间的距离d，因为b1,1，所以当b1时，距离最大，即dmax2，故选C.答案：C第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共
8、20分请把正确答案填在题中横线上)13空间两点A(2,5,4)，B(2,3,5)之间的距离等于_解析：|AB|.答案：14若P(2,1)是圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为_解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以kPO1，则直线AB的斜率为k1，由点斜式方程得xy30.答案：xy3015已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点，则x2y的取值范围为_解析：设tx2y，则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点，又圆心是(2,0)，半径为1，所以1，解得2t2，故x2y的取值范围为2，2答案：2，216已知圆C的方程为(xm)2(ym4)22，O为坐标原点，
9、则当|OC|最小时，圆C的一般方程是_解析：方法一由题知C(m,4m)，则|OC|，当m2时，|OC|最小，圆C的方程为(x2)2(y2)22，其一般方程为x2y24x4y60.方法二设C(x，y)，则消去m，得y4x，圆心C的轨迹方程为xy40.当|OC|最小时，OC与直线xy40垂直，直线OC的方程为xy0.由得xy2，即圆心C的坐标为(2,2)，圆C的方程为(x2)2(y2)22，其一般方程为x2y24x4y60.答案：x2y24x4y60三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直
10、线yx截圆所得弦长为2，求此圆的方程解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上，故设圆的方程为(x3b)2(yb)29b2.又因为直线yx截圆得弦长为2，则有2()29b2，解得b1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.18(本小题满分12分)已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)，且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程解析：当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0.如图，作MCAB于点C.在RtMBC中，BC，MB2，MC1，圆心M(1,1)到直线l的距离为d1，解得k.因此，所求直线l的方程为3x
11、4y60；当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l的方程为3x4y60或x2.19(本小题满分12分)已知圆C：(x1)2(y2)22，点P(2，1)，过P点作圆C的切线PA，PB，A，B为切点(1)求PA，PB所在直线的方程；(2)求切线长|PA|；(3)求直线AB的方程解析：(1)设切线的方程为y1k(x2)，即kxy2k10，又C(1,2)，半径r，由点到直线的距离公式得：，解得，k7或k1.故所求切线PA，PB的方程分别是xy10和7xy150.(2)在RtAPC中，|AC|r，|PC|，所以|PA|2.(3)设A(x1，y1
12、)，B(x2，y2)，则(x11)2(y12)22，(x21)2(y22)22.因为kCAkAP1，即1，所以(y12)(y11)(x11)(x12)，变形得(y12)(y123)(x11)(x111)，(y12)23(y12)(x11)2(x11)，(x11)2(y12)23(y12)(x11)0.因为(x11)2(y12)22，所以上式可化简为x13y130.同理可得：x23y230.因为A，B两点的坐标都满足方程x3y30，所以直线AB的方程是x3y30.20(本小题满分12分)如图，圆x2y28内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦，(1)当135时，求|AB|.(2)当弦A
13、B被点P平分时，写出直线AB的方程(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程解析：(1)过点O作OGAB于G，连接OA，当135时，直线AB的斜率为1，故直线AB的方程xy10，所以OG.因为r2所以AG.所以|AB|2AG.(2)当弦AB被P平分时，OPAB，此时KOP2，所以AB的点斜式方程为y2(x1)，即x2y50.(3)设AB的中点为M(x，y)，AB的斜率为k，OMAB，则消去k，得x2y22yx0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2y22yx0.21(本小题满分12分)已知实数x，y满足y1(2x2)(1)求m的取值范围；(2)求b2xy的取值范围解析：将y
14、1(2x2)变形为x2(y1)24(2x2，y1)，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的上半圆(1)m表示半圆上的点与定点P(3,0)连线的斜率如图1，A(2,1)，B(2,1)则kPB.m可变形为mxy3m0，由2，解得m(舍去)或m.所以m的取值范围为.(2)b2xy表示斜率k2，在y轴上的截距为b的直线如图2，当直线过点A(2,1)时，b2(2)13；b2xy可变形为2xyb0，由2，解得b12(舍去)或b12.所以b的取值范围为3,1222(本小题满分12分)圆C的半径为3，圆心在直线2xy0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为2.(1)求圆C的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l
15、，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)设C(x0，y0)，则2x0y00(y00)又，得y02，x01，则C(1，2)所以圆C的方程为(x1)2(y2)29，即x2y22x4y40.(2)设这样的直线l存在，其方程为yxb，它与圆C的交点设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得2x22(b1)xb24b40，所以x1x2(b1)，x1x2.所以y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2.由OAOB得x1x2y1y20，即b24b4b(b1)b20，b23b40，解得b1或b4.容易验证b1或b4时，方程2x22(b1)xb24b40有实根，故存在这样的直线l有两条，其方程是yx1或yx4.
