1、高考资源网（） 您身边的高考专家32.2直线的两点式方程32.3直线的一般式方程填一填1.直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)A(a,0)，B(0，b)且ab0方程12.线段的中点坐标公式(1)条件：点P(x，y)是线段P1P2的中点且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(2)结论：x，y.3直线的一般式方程形式AxByC0条件A，B不同时为04.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系判一判1.过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程表示()2在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程
2、为1.()3能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示()4直线yx在x轴和y轴上的截距均为0.()5任何直线方程都能表示为一般式()6任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()7对于二元一次方程AxByC0，当A0，B0时，方程表示斜率不存在的直线()8方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程()想一想1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为110，而0不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示2截距式方程能否表示过原点的
3、直线？提示：不能，因为ab0，即有两个非零截距3任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示4当A，B同时为零时，方程AxByC0表示什么？提示：当C0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C0时，方程无解，方程不表示任何图象故方程AxByC0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2B20时才代表直线思考感悟：练一练1.经过点A(3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为()A.B.C. D.答案：A2斜率为3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是()A3xy60 B3xy20C3xy60 D3xy20答案：
4、C3已知点P(2，m)在直线3xy2上，那么m的值是_答案：44直线1在y轴上的截距为_答案：35已知点A(3,5)，B(9，11)，则线段AB的中点坐标为_答案：(3，3)知识点一直线的两点式方程1.已知直线l经过点A(1，2)，B(3,2)，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cx2y10 Dx2y10解析：由两点式得直线l的方程为，即y2(x1)故选A.答案：A2过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A BC. D2解析：由直线的两点式方程可得直线方程为，即2xy30，令y0得x.故选A.答案：A知识点二直线的截距式方程3.过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直
5、线方程为()Axy5 Bxy5Cxy5或x4y0 Dxy5或x4y0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为yx，即x4y0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为1(a0)，把(4,1)代入，解得a5，直线方程为xy5.综上可知，直线方程为xy5或x4y0.选C.答案：C4两条直线l1：1和l2：1在同一平面直角坐标系中的图象可以是()解析：将两直线方程化成截距式为l1：1，l2：1，则l1与x轴交于(a,0)，与y轴交于(0，b)，l2与x轴交于(b,0)，与y轴交于(0，a)结合各选项，先假定l1的位置，判断出a，b的正负，然后确定l2的位置，知A项符合选A.答案：A知识点三直线的一般
6、式方程5.已知直线l的方程为xy20，则直线l的倾斜角为()A30 B45C60 D150解析：设直线l的倾斜角为，则tan，则30.答案：A6已知直线(m1)x(m22m3)ym20与两坐标轴有且只有一个交点，则m的值为()A1或2 B3或2C1或3 D1或3或2解析：因为直线与两坐标轴有且只有一个交点，所以交点必定为原点或斜率k0或斜率不存在，即m20或0或m22m30解得：m2，m3(m1舍去)，选B.答案：B知识点四中点坐标公式7.已知M(1,2)，N(3，4)，则线段MN的中点坐标为()A(1,1) B(1，1)C. D.解析：设中点坐标为(a，b)，则由中点坐标公式可得即答案：B8
7、已知ABC的三个顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为()A2xy80 B2xy80C2xy120 D2xy120解析：由中点坐标公式知M(2,4)，N(3,2)，由两点式方程知MN所在的直线方程为2xy80.故选A.答案：A知识点五直线方程的应用9.已知直线l过点P(4,1)，(1)若直线l过点Q(1,6)，求直线l的方程；(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程解析：(1)因为直线l过点P(4,1)，Q(1,6)，所以直线l的方程为，即xy50.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l
8、的斜率为k，则其方程为y1k(x4)令x0，得y14k；令y0得x4，所以14k2，解得k或k2.所以直线l的方程为y1(x4)或y12(x4)，即yx或2xy90.10直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等，所以a2，方程即3xy0；若a2，则a2，即a11，所以a0，即方程为xy20，所以a的值为0或2.(2)因为当直线l过原点时，y3x经过第二象限不合题意，所以直线不过原点，故或所以a1.综合知识直线的方程11.分别求符合条件的直线
9、方程，并化为一般式(1)经过点(1,3)，且斜率为3；(2)经过两点A(0,4)和B(4,0)；(3)经过点(2，4)且与直线3x4y50平行；(4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x8y30.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为y33(x1)，即y33x3，整理得其一般式为3xy0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为1，整理得其一般式为xy40.(3)设与直线3x4y50平行的直线为3x4yc0，将点 (2，4)代入得616c0，所以c22.故所求直线的一般式为3x4y220.(4)设与直线6x8y30垂直的直线为8x6yc0，代入点(3,2)得2412c0，c36.从而得8x6
10、y360，即所求直线的一般式为4x3y180.12已知ABC的三个顶点为A(0,3)，B(1,5)，C(3，5)(1)求边AB所在的直线方程；(2)求中线AD所在直线的方程解析：(1)设边AB所在的直线的斜率为k，则k2.它在y轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB所在的直线的方程为y2x3.(2)B(1,5)、C(3，5)，2，0，所以BC的中点D(2,0)由截距式得中线AD所在的直线的方程为1.基础达标一、选择题1下列四个命题中的真命题是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy
11、1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示解析：当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；选项B正确故选B.答案：B2已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1 D2或1解析：当a0时，y2不合题意当a0时，令x0，得y2a，令y0，得x，则a2，得a1或a2.故选D.答案：D3直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A3xy60 Bx3y100C3xy0
12、 Dx3y80解析：设所求的直线方程为1.所以解得a2，b6.故所求的直线方程为3xy60.故选A.答案：A4如果AB0，且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为直线AxByC0可化为yx，又AB0，BC0，0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限故选D.答案：D5已知m0，则过点(1，1)的直线ax3my2a0的斜率为()A3 B3C. D解析：由题意，得a3m2a0，所以am，又因为m0，所以直线ax3my2a0的斜率k.故选D.答案：D6直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A2 B3C2或3 D2或3解析：直
13、线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案：C7两条直线l1：ax(1a)y3，l2：(a1)x(32a)y2互相垂直，则a的值是()A3 B1C1或3 D0或3解析：因为两条直线l1：ax(1a)y3，l2：(a1)x(32a)y2互相垂直，所以a(a1)(1a)(32a)0，解得a1或a3.所以a的值是1或3.故选C.答案：C二、填空题8经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为_解析：当a1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x1；当a1时，由两点式，得，即x(a1)y3a40.这个方程中，对a1时方程为x1也满足所以，所求的直线方程为x(a1)y3
14、a40.答案：x(a1)y3a409已知直线l经过点P(2,5)，且与直线4x3y20平行，则直线l的方程为_解析：设直线l的方程为：4x3ym0，把点P(2,5)代入可得：815m0，解得m7.所以直线l的方程为4x3y70.答案：4x3y7010已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为_解析：由两点式方程，知直线l过点(5,0)，(3，3)，所以l的斜率为.答案：11经过点(2,0)与点 (6,2)的中点，在x轴上的截距是2的直线方程是_解析：因为点(2,0)与点(6,2)的中点是(2,1)，所以直线经过(2,1)，(2,0)两点，由两点式得，即x4y20.答案：x4y2012直线l1：xa
15、y60与l2：(a2)x3y2a0平行，则a等于_解析：显然当a0时，l1与l2不平行当a0时，由l1l2可得，即a22a30，解得a1或a3.a3时，l1：x3y60，l2：x3y60，l1与l2重合，不符合题意，舍去，经检验知a1时l1l2.答案：1三、解答题13根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，3；(4)经过两点P1(3，2)、P2(5，4)解析：(1)由点斜式得y(2)(x8)，化成一般式得x2y40.(2)由斜截式得y2，化成一般式得y20.(3)由截距式得1，化成一
16、般式得2xy30.(4)由两点式得，化成一般式得xy10.14已知直线l经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程解析：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上的截距均等于0，符合题意又直线l过点(7,1)，所求直线方程为yx，即x7y0.当直线l不经过原点时，设其方程为1，由题意可得ab0，又l经过点(7,1)，有1，由，得a6，b6，则l的方程为1，即xy60.故所求直线l的方程为x7y0或xy60.能力提升15.已知直线l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，求满足下列条件的a的值；(1)l1l2；(2)l1l2；(3)当a取何值时，直线l2不过第四象限？解析：由题意可知A1a，B13，C11；A21，B2a2，C2a.(1)当l1l2时，即解得a3.所以，当a3时，l1l2.(2)当l1l2时，A1A2B1B2a13(a2)0，即4a60，解得a.所以，当a时，l1l2.(3)当a2时，直线l2的方程可转化为yx.由于直线l2不过第四象限，则解得0a0，b0)由已知，得由解得或经验证，只有满足式所以存在直线满足题意，其方程为1，即3x4y120.- 8 - 版权所有高考资源网
