1、2015-2016学年江西省九江市同文中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1计算：cos210=（）ABCD2如图，四边形ABCD中， =，则相等的向量是（）A与B与C与D与3已知角的终边经过点P（b，4）且cos=，则b的值等于（）A3B3C3D54扇形的半径是6cm，圆心角为15，则扇形面积是（）AB3cm2Ccm2D5在ABC中，点P为BC边上一点，且=2，则=（）ABCD6若函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD7如图是函数y=Asin（x+）的图象的一段，它的解析式为（）ABCD8ABC的外接圆的圆心
2、为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）AB3CD39把函数f（x）=cos（2x+）的图象沿x轴向左平移m个单位（m0），所得函数为奇函数，则m的最小值是（）ABCD10如图，已知ABC中，AB=AC=4，BAC=，点D是BC的中点，若向量=+m，且点M在ACD的内部（不含边界），则的取值范围是（）A（2，4）B（2，6）C（0，4）D（0，6）11如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧为l，弦AP为d则函数d=f（l）的图象是（）ABCD12设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）AB2CD4二、填空题
3、：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，且，则tan=_14设向量，是夹角为的单位向量，若=+2，则|=_15已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=_16函数f（x）=3sin（2x）的图象为C，则以下结论中正确的是_ （写出所有正确结论的编号）图象C关于直线x=对称； 图象C关于点对称；函数f（x）在区间（，）内是增函数； 由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知向量（1）若，求k的值；（2）若，求m的值18已知f（）=（1）化简
4、f（）；（2）若f（）=，且0，求sin+cos的值19已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），=（1，0）（1）求向量的长度的最大值；（2）设=，（0，），且（+），求的值20已知函数f（x）=sin（2x）（1）画出函数f（x）在区间0，的简图（要求列表）；（2）求函数f（x）的单调递减区间21已知函数f（x）=sin（2x）+b，且函数的对称中心到对称轴的最小距离为，当x0，时，f（x）的最大值为1（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（x）3mf（x）+3在x0，上恒成立，求m的取值范围22已知平面向量=（，1），=（，），=+m， =cos2x+sinx，f（x）=，xR
5、（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围； （2）设g（x）=f（x）m2+2m+5，是否存在实数m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由2015-2016学年江西省九江市同文中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1计算：cos210=（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】把所求式子中的角210变为180+30，利用诱导公式cos=cos及特殊角的三角函数值化简，即可求出原式的值【解答】解：cos210=cos=cos30=故选B2如图，四边形ABCD中， =，则相等的向量是（）A与B与
6、C与D与【考点】相等向量与相反向量【分析】四边形ABCD中， =，四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质和向量相等即可得出【解答】解：四边形ABCD中， =，四边形ABCD是平行四边形，故选D3已知角的终边经过点P（b，4）且cos=，则b的值等于（）A3B3C3D5【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据三角函数的定义建立方程关系即可【解答】解：角的终边经过点P（b，4）且cos=，cos=，则b0，平方得，即b2=9，解得b=3或b=3（舍），故选：A4扇形的半径是6cm，圆心角为15，则扇形面积是（）AB3cm2Ccm2D【考点】扇形面积公式【分析】根据扇形的面积公式S=解答
7、该题【解答】解：扇形的半径为6cm，圆心角为60，S=cm故选：D5在ABC中，点P为BC边上一点，且=2，则=（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算，即可得出的值【解答】解：如图所示，ABC中， =2，=（）；=+=+（）=+，又，=故选：D6若函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD【考点】余弦函数的图象【分析】由题意可得3cos（+）=0， +=k+，即=k，kZ，由此可得|的最小值【解答】解：函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，故3cos（+）=0，+=k+，
8、即=k，kZ，|的最小值为，故选：A7如图是函数y=Asin（x+）的图象的一段，它的解析式为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过函数的图象，求出A，求出周期，得到，函数经过（），求出，得到函数的解析式【解答】解：由题意与函数的图象可知：A=，T=2（）=，=2，因为函数图象经过，所以=，所以解得=，所以函数的解析式为：故选D8ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）AB3CD3【考点】平面向量数量积的含义与物理意义【分析】由题意画出图形，借助与图形利用向量在方向上的投影的定义即可求解【解答】解：由题意因为ABC的外接圆的圆心为
9、O，半径为2，且，对于，所以可以得到图形为：因为，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60的菱形，所以向量在方向上的投影为： =故选：A9把函数f（x）=cos（2x+）的图象沿x轴向左平移m个单位（m0），所得函数为奇函数，则m的最小值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换可得f（x+m）=cos（2x2m+），利用诱导公式2m+=k+，（kZ），f（x+m）为奇函数，当k=1时，m取最小值【解答】解：函数f（x）=cos（2x+）的图象沿x轴向左
10、平移m个单位，f（x+m）=cos（2x+2m+），函数为奇函数，2m+=k+，（kZ），故当k=0时，m的最小值，故答案选：D10如图，已知ABC中，AB=AC=4，BAC=，点D是BC的中点，若向量=+m，且点M在ACD的内部（不含边界），则的取值范围是（）A（2，4）B（2，6）C（0，4）D（0，6）【考点】平面向量数量积的运算【分析】在AB上取点P使得AP=1，以AP，AC为邻边方向作平行四边形，根据M的位置判断m的取值范围，用表示出，代入数量积运算得出关于m的函数，求出该函数的值域即可【解答】解：在AB上取点P使得AP=，过P作PNAC交AD于Q，交BC于N，分别作AB的平行线NF
11、，EQ则M在线段NQ上（不含端点），AB=AC=4，D为BC的中点，AD平分BACAE=AP=AB=1，NP=3，AF=3=+m，m=，又=0，=（+m）（）=+m2=16m23，m，216m236故选B11如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧为l，弦AP为d则函数d=f（l）的图象是（）ABCD【考点】扇形面积公式；弧长公式【分析】取AP的中点为D，设DOA=，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案【解答】解：取AP的中点为D，设DOA=，则d=2sin，l=2R=2，=d=2sin，根据
12、正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式故选C12设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）AB2CD4【考点】平面向量的综合题【分析】设的夹角为，由向量的数量积公式先求出cos=，从而得到sin=，由此能求出【解答】解：设的夹角为，则cos=，sin=，=22=2故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，且，则tan=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】先利用诱导公式化简原式求得sin，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，则tan的值可得【解答】解：，sin=0，0，cos=，tan=，故答案为：14设向量，是夹角为的单位向量，
13、若=+2，则|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算，开方即可得出|【解答】解：，=3|=故答案为15已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定的表达式，进而推出的值【解答】解：如图所示，f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，f（x）在处取得最小值+=2k（kZ）=8k（kZ）0，当k=1时，=8=；当k=2时，=16=，此时在区间内已存在最大值故=故答案为：16函
14、数f（x）=3sin（2x）的图象为C，则以下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）图象C关于直线x=对称； 图象C关于点对称；函数f（x）在区间（，）内是增函数； 由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用正弦函数f（x）=3sin（2x）的性质，对四个选项逐一判断即可【解答】解：f（x）=3sin（2x），：由2x=k+（kZ）得：x=+（kZ），f（x）=3sin（2x）的对称轴方程为：x=+（kZ），当k=0时，x=，k=1时，x=，图象C关于直线x=对称是错误的，即错误；：f（）=3sin（2）=0，图象C关于点
15、（，0）对称，即正确；：由2k2x2k+得：kxk+（kZ），f（x）=3sin（2x）的增区间为k，k+（kZ），当k=0时，为其一个增区间，故正确；：将y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2（x）=3sin（2x）3sin（2x）=f（x），故错误综上所述，正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知向量（1）若，求k的值；（2）若，求m的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）根据所给的向量的坐标，表示出已知平行的向量的坐标，根据两个
16、向量平行的条件，写出关于k的等式，解方程即可（2）根据所给的向量，表示出要证明垂直的两个向量的坐标，根据两个向量垂直，得到数量积等于0，得到关于m的等式，解方程即可【解答】解：（1），3，9（1+2k）=2+3k，k=（2）m，由，得1（m2）2（2m3）=0，m=18已知f（）=（1）化简f（）；（2）若f（）=，且0，求sin+cos的值【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）直接利用诱导公式化简表达式，求解即可（2）判断正弦函数与余弦函数的范围，利用同角三角函数基本关系式化简求解即可【解答】解：（1）f（）=sincos（2）f（）=，且0，sin0，cos0，sin+cos0可得：si
17、ncos=，2sincos=1+2sincos=sin+cos=19已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），=（1，0）（1）求向量的长度的最大值；（2）设=，（0，），且（+），求的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）根据向量的坐标运算模长公式及向量的坐标表示，再由余弦函数的值域即可求得最大值；（2）运用向量垂直的条件，结合向量的数量积的坐标表示，以及同角的平方关系，即可求得cos的值，根据（0，），即可求得的值【解答】解：（1）=（cos1，sin），丨丨=，当cos=1，丨丨取最大值，最大值为2，向量的长度的最大值2；（2）=，（+），+=0
18、，coscossinsincos=0，（cos+sin）=，sin+cos=1，sin2+cos2=1，解得：cos=0或1，（0，），=20已知函数f（x）=sin（2x）（1）画出函数f（x）在区间0，的简图（要求列表）；（2）求函数f（x）的单调递减区间【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）利用用五点法做函数y=Asin（x+）的图象的方法，作出f（x）在区间0，的简图（2）利用正弦函数的减区间，求得函数f（x）的单调递减区间【解答】解：（1）对于函数f（x）=sin（2x），x0，可得2x，列表如下： 2x 0 x 0 f（x）1 0 1 0作图：（2）令2
19、k+2x2k+，求得k+xk+，可得函数f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ21已知函数f（x）=sin（2x）+b，且函数的对称中心到对称轴的最小距离为，当x0，时，f（x）的最大值为1（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（x）3mf（x）+3在x0，上恒成立，求m的取值范围【考点】正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）根据函数的性质求出和b，即可求函数f（x）的解析式（2）分别求出f（x）3和f（x）+3的取值范围，结合恒成立问题即可得到结论【解答】解：（1）函数的对称中心到对称轴的最小距离为，=，即周期T=，即|=，解得=1或=1，若=1，则f（x）=sin（2x）+
20、b，当x0，时，2x，当2x=，时，函数f（x）取得最大值为f（x）=+b=+b=+b=1，即b=，此时；若=1，则f（x）=sin（2x）+b，当x0，时，2x，当2x=0时，函数f（x）取得最大值为f（x）=0+b=1，即b=1，此时，综上或（2）若，由（1）知，函数f（x）的最大值为1，最小值为f（x）=+1=2，即2f（x）1，则5f（x）32，1f（x）+34，f（x）3mf（x）+3在x0，上恒成立，2m1；若由（1）知，函数f（x）的最大值为1，最小值为f（x）=（1）+1=1，即1f（x）1，则2f（x）32，4f（x）+34，f（x）3mf（x）+3在x0，上恒成立，2m42
21、2已知平面向量=（，1），=（，），=+m， =cos2x+sinx，f（x）=，xR（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围； （2）设g（x）=f（x）m2+2m+5，是否存在实数m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）当m=2时，求出和的坐标，可得函数y=f（x）=2（sinx1）2，再利用二次函数的性质求得函数的值域（2）根据和的坐标，求得函数y=f（x）=cos2x+msinx，可得g（x）的解析式令sinx=t，则1t1，g（x）=h（t）=t2+mt
22、m2+2m+6，函数h（t）的对称轴为 t=，再分当0时和当m0时两种情况，分别利用二次函数的单调性以及g（x）有最大值2，求得m的值，从而得出结论【解答】解：（1）当m=2时， =+2=（+1， +），=cos2x+sinx=（sinxcos2x， sinx+cos2x ），函数y=f（x）=（+1）（sinxcos2x ）+（+）（sinx+cos2x ）=cos2x+2sinx=1sin2x+2sinx=2（sinx1）2，故当sinx=1时，函数y取得最大值为2，当sinx=1时，函数y取得最小值为2，故函数的值域为2，2（2）=+m=（+， +），=cos2x+sinx=（sinxc
23、os2x， sinx+cos2x ），函数y=f（x）=（+）（sinxcos2x ）+（+）（sinx+cos2x ）=cos2x+msinx，g（x）=f（x）m2+2m+5=cos2x+msinxm2+2m+5=1sin2x+msinxm2+2m+5 =sin2x+msinxm2+2m+6令sinx=t，则1t1，g（x）=h（t）=t2+mtm2+2m+6，函数h（t）的对称轴为 t=，当0时，h（t）的最大值为h（1）=1+mm2+2m+6=2，求得m=当m0时，h（t）的最大值为h（1）=1mm2+2m+6=2，求得m=综上可得，存在实数m= 或m=，使得y=g（x）有最大值22016年10月2日
