1、单元评估检测（八）(第八章)(120分钟 160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.直线xsin-y+1=0的倾斜角的变化范围是_.2.正方体不在同一表面上的两顶点A(1,2，1)，B(3，2，3)，则正方体的棱长为_3.(2012淮安模拟)经过点(2,-1)，且与直线x+y-5=0垂直的直线方程是_.4若曲线与曲线的离心率互为倒数，则t=_.5已知双曲线C:(a0,b0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为_.6(2012连云港模拟)双曲线x2-=1的渐近线与圆x2+(y-3)2=r
2、2(r0)相切，则r=_.7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为_.8(2012扬州模拟)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足则实数a的值是_.9已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_.10若kR，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是_11.(2011湖北高考)过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为_.12已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，
3、则a=_.13(2012盐城模拟)在ABC中，ACB=60,sinAsinB=85,则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为_.14抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于_.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(14分)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(aR).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.16(14分)已知动点C到点A(-1，0)的距离是它到点B(1，0)的距离的倍.(1
4、)试求点C的轨迹方程；(2)已知直线l经过点P(0，1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.17(14分)(2012南京模拟)已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1.直线l:y=2x+2被圆M所截得的弦长为且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(t,0),B(t+5,0)(-4t-1).若AC，BC是圆M的切线，求ABC面积的最小值.18(16分)(2012南通模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M(4,0).(1)若点F到直线l的距离为求直线l的斜率;(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值.
5、19.(16分)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-y的焦点是它的一个焦点，又点A(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当ABC的面积最大时，求直线l的方程.20(16分)(2012苏州模拟)如图，已知椭圆(ab0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直.直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(kR)所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e=(1)求椭圆的标准方程;(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PHx轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中
6、点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系. 答案解析1.【解析】直线xsin-y+1=0的斜率是k=sin.又-1sin1,-1k1.当0k1时，倾斜角的范围是0，;当-1k0,解得-1a3.答案：-1a311.【解析】由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y+2=k(x+1)，又圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1，圆心为(1,1)，半径为1,圆心到直线的距离解得:k=1或.答案：1或12【解析】因为l1：(a-2)x+3y+a=0与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3.答案：2或-313【解析】
7、设BC=m,AC=n,则m+n=2a,(2c)2=m2+n2-2mncos60,先求得代入得4c2=a2,e=.答案：14【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x2)，根据点到直线的距离公式，得所以当x=时，d取得最小值.答案：15【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l不经过坐标原点，即a-2且a-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得解得a=0，此时直线l的方程为x+y-2=0.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可得M(,0),N(
8、0,2+a),又因为a-1.故SOMN=当且仅当a+1=即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.16【解题指南】(1)利用直接法列出方程，化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】(1)设点C(x,y)，则|CA|=|CB|=.由题意，得两边平方，得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2.整理，得(x-3)2+y2=8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x-3)2+y2=8.(2)由(1)，得圆心为M(3，0)，半径r若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3,故该直线与圆不相切；若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方
9、程为y=kx+1.由直线和圆相切，得d=整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.17【解析】(1)设M(0,b).由题设知，M到直线l的距离是所以解得b=1或b=3.因为圆心M在直线l的下方，所以b=1,即所求圆M的方程为x2+(y-1)2=1.(2)当直线AC,BC的斜率都存在，即-4t-1时，直线AC的斜率kAC=tan2MAO=同理直线BC的斜率kBC=所以直线AC的方程为y=直线BC的方程为解方程组得所以因为-4t-1,所以所以故当t=时，ABC的面积取最小值当直线AC，BC的斜率有一个不存
10、在时，即t=-4或t=-1时，易求得ABC的面积为综上，当t=时，ABC的面积的最小值为18【解析】(1)由已知，x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0),因为点F到直线l的距离为，所以解得k=所以直线l的斜率为(2)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0)，A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为直线AB的斜率为直线AB的方程为y-y0=联立方程消去x得(1-)y2-y0y+y02+x0(x0-4)=0,所以y1+y2=因为N为AB中点，所以=y0,即=y0,所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.19.【
11、解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0,-)，故设椭圆方程为 (a).将点A(1,)代入方程得整理得a4-5a2+4=0，得a2=4或a2=1(舍),故所求椭圆方程为=1.(2)设直线BC的方程为y=x+m，设B(x1,y1),C(x2,y2),代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2-4=0,由=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,可得0m2b0)的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距离为直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O到直线l的距离为求AOB面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意解得c=.由a2=b2+c2,得b=1.
12、所求椭圆方程为(2)由已知得可得m2=(k2+1).将y=kx+m代入椭圆方程，整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0 (*)x1+x2=x1x2=|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)=4(k0)当且仅当9k2即k=时等号成立.经检验，k=满足(*)式.当k=0时，|AB|=.综上可知|AB|max=2.当|AB|最大时，AOB的面积取最大值Smax=20【解析】(1)将(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0,整理得(-x-2y+2)k+2x-y+1=0,解方程组得直线所经过的定点(0,1),所以b=1.由离心率e=得a=2.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0),则+y02=1.HP=PQ,Q(x0,2y0).OQ=Q点在以O为圆心，2为半径的圆上.即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),直线AQ的方程为令x=2,得M(2,).又B(2,0),N为MB的中点，N(2,).=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.直线QN与圆O相切.- 12 - 版权所有高考资源网
