1、单元评估检测（八）（第八章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsin-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,) (B)(0,) (C), (D)0,)2.(2012湘潭模拟)点(1，cos)到直线xsin+ycos-1=0的距离是 (0180),那么=( )(A)150 (B)30或150(C)30 (D)30或2103.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y-6=0平行，则直线l1的方程是( )(A)3x+4y-1=0(B)3x+4y+1=0或3x+4y
2、-9=0(C)3x+4y+9=0(D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04“-1”是“方程-=1表示双曲线”的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为( )(A)-4+ (B)-3+(C)-4+2 (D)-3+26.(2012常德模拟)椭圆=1的焦距等于2，则m的值为( )(A)5或3 (B)8 (C)5 (D)167已知双曲线-m2x2=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)48若PQ是圆x2+y2=1
3、6的弦，PQ的中点是M（1，3），则直线PQ的方程是( )（A）x+3y-4=0 （B）x+3y-10=0（C）3x-y+4=0 （D）3x-y=0二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为_.10（2012郑州模拟）已知抛物线y2=2px(p1)的焦点F恰为双曲线- =1(a0,b0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为_.11.设F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,若直线x= (c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率
4、的取值范围是_.12（2012广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_.13若kR，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是_14已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=_.15抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于_.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（aR）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a-1，直线l与x
5、、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17（12分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.18(12分)(探究题)已知椭圆+=1(ab0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.19(13分)(2012株洲模拟)设O为坐标原点，曲线x2+y2+
6、2x-6y+1=0上有两点P，Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程.20.（13分）(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=y的焦点是它的一个焦点，又点A(1,）在该椭圆上.（1）求椭圆E的方程;（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当ABC的面积最大时，求直线l的方程.21.（13分）（2012南通模拟）已知直线l1:y=2x+m(m0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切，F是C1的焦点.（1）求m与a的值；（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA、F
7、B为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求NPQ的面积S的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin-y+1=0的斜率是k=sin.又-1sin1,-1k1.当0k1时，倾斜角的范围是0，;当-1k-1时，方程=1表示双曲线；当=1表示双曲线时，-1或-1”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件.5【解析】选D.如图所示：设PA=PB=x(x0),APO=,则APB=2， sin=cos2=令则即x4-(1+y)x2-y=0,由x2是实数，所以=-(1+y)2-41
8、(-y)0,y2+6y+10,解得故6【解析】选A.当m4时，m-4=1,m=5;当m1e2=3+,e=+1.11.【解题指南】根据|F1F2|=|PF2|转化为点F2到直线x=的距离小于或等于|F1F2|来寻找a,b,c之间的关系,从而求解.【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=(c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则|F1F2|=|PF2|,可转化为点F2到直线x=的距离小于或等于|F1F2|，亦即-c2c，解得，所以e，1）.12【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以c= =b,所以离心率为e=.答案：13【解析】因为直线y=k
9、x+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a0+a2-2a-40且2a+40,解得-1a3.答案：-1a314【解析】因为l1：(a-2)x+3y+a=0与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直所以，a(a-2) +3(a-2)=0,解得a=2或a=-3.答案：2或-315【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x2)，根据点到直线的距离公式，得d=,所以当x=时，d取得最小值.答案：16【解析】（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直
10、线l不经过坐标原点，即a-2且a-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a，解得a=0，此时直线l的方程为x+y-2=0.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.（2）由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),又因为a-1.故SOMN=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.17【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C（x,y），则|CA|=,|CB|=.由题意，得=.两边平方，得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2.整理，得（x-3）2+y2=8
11、.故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3,故该直线与圆不相切；若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切，得d= =,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18【解析】（1）由=,ab=,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.（2）将y=kx+2代入+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),
12、以PQ为直径的圆过D（1，0），则PDQD，即(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 又x1x2=,x1+x2=,代入解得k=，此时（*）方程0，存在k=,满足题设条件.19【解析】(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1，3)，半径为3的圆.点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心(-1，3)在直线x+my+4=0上，代入得m=-1.(2)直线PQ与直线y=x+4垂直，可设直线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入
13、圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,由4(4-b)2-42(b2-6b+1)0,得设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),又0，x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0,解得b=1(2-3,2+3),所求的直线方程为x+y-1=0.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为+ =1（a2）.将点A(1,)代入方程得+=1，整理得a4-5a2+4=0，得a2=4或a2=1（舍）,故所求椭圆方程为+=1.（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B(x1,y1),C(x2,y2),代入椭圆方程并化简得4x2+
14、mx+m2-4=0,由=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,可得0m2b0)的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意,解得c=.由a2=b2+c2,得b=1.所求椭圆方程为+y2=1.(2)由已知得=,可得m2=(k2+1).将y=kx+m代入椭圆方程，整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3) 0 (*)x1+x2=,x1x2=.|AB|2=（1+k2）(x2-
15、x1)2=(1+k2) =3+=4(k0)当且仅当9k2=,即k=时等号成立.经检验，k=满足（*）式.当k=0时，|AB|=.综上可知|AB|max=2.当|AB|最大时，AOB的面积取最大值Smax=.21.【解析】（1）由已知，圆C2:x2+(y+1)2=5的圆心为C2(0,-1)，半径r=.由题设圆心到直线l1:y=2x+m的距离d=，即=,解得m=-6(m=4舍去).设l1与抛物线的切点为A0(x0,y0),又y=2ax,得2ax0=2x0=,y0=.代入直线方程得：=-6,a=，所以m=-6,a=.（2）由（1）知抛物线C1方程为y=x2,焦点F（0，）.设A（x1,）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，）所以=（x1, -）,=(0, ),四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，=+ =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=上.（3）设直线MF：y=kx+,代入y=得-kx-=0,设P、Q两点横坐标分别为x1,x2,得x1+x2=6k,x1x2=-9，SNPQ=|NF|x1-x2|=3=,k0,SPQN9，即NPQ的面积S范围是（9，+）.
