1、课时作业 13三角形中的几何计算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(济南历城区二中调研)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A60，c2，且ABC的面积为，则边b的长为()A4B3C2 D1解析：SABCbcsinA，即b2，所以b1.故选D.答案：D2已知ABC周长为20，面积为10，A60，则BC边长为()A5 B6C7 D8解析：由题设abc20，bcsin6010，所以bc40.a2b2c22bccos60(bc)23bc(20a)2120.所以a7.即BC边长为7.答案：C3如图，在四边形ABCD中，已知BC120，AB4，BCCD2
2、，则该四边形的面积等于()A. B5C6 D7解析：连结BD，在BCD中，由余弦定理，得BD22222222cos12012，即BD2.BCCD，CBD30，ABD90，即ABD为直角三角形故S四边形ABCDSBCDSABD22sin120425.答案：B4在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A. B.C. D.解析：设最大角为，则cos.因为sin，若60，则，无解若120，则cos，所以，所以a5，故三边分别为3,5,7.所以SABC35.故选B.答案：B5在ABC中，BAC120，AD为BAC的平分线，AC3，AB6，则AD的长是()A2 B
3、2或4C1或2 D5解析：如图，由已知条件可得DACDAB60.因为AC3，AB6，SACDSABDSABC，所以3AD6AD36，解得AD2.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于_解析：在ABC中，由余弦定理，得cosC，所以sinC.在ADC中，由正弦定理，得AD.答案：7在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A_.解析：4Sb2c2a22bccosA，4bcsinA2bccosA，tanA1，又A(0，180)，A45.答案：458.如图，在ABC中，ABa，ACb，BC
4、D为等边三角形，则当四边形ABDC的面积最大时，BAC_.解析：设BAC，则BC2a2b22abcos，所以S四边形ABDCSABCSBCDabsinBC2(a2b2)absin(60)，则当BAC150时，S四边形ABDC取得最大值答案：150三、解答题(每小题10分，共20分)9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解析：(1)因为cosB0，B(0，90)，所以sinB.由正弦定理可得，所以a.(2)因为ABC的面积SacsinB，sinB，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22ac
5、cosB，即4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.因为ac0，所以ac2.10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：由余弦定理的推论得cosB，cosA，代入等式右边，得右边c左边，所以c.|能力提升|(20分钟，40分)11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acosBbcosAcsinC，S(b2c2a2)，则B的度数为()A90 B60C45 D30解析：因为acosBbcosAcsinC，由正弦定理可得sinAcosBcosAsinBsin2C，即sin(AB)sin2C，因
6、为sinC0，所以sinC1，故C90，又SbcsinA(b2c2a2)，所以sinAcosA，所以tanA1，故A45，所以B45，故选C.答案：C12在ABC中，AB，点D是BC的中点，且AD1，BAD30，则ABC的面积为_解析：因为AB，AD1，BAD30，所以SABD1sin30.又因为D为BC的中点，所以SABC2SABD.答案：13(淄博六中期末)在ABC中，cos2Acos2AcosA.(1)求角A的大小；(2)若a3，sinB2sinC，求SABC.解析：(1)由已知得(2cos2A1)cos2AcosA，所以cosA.因为0A，所以A.(2)由可得2，所以b2c.因为cosA，所以c，b2，所以SABCbcsinA2.14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2c2b2acsinB.(1)求角B的大小；(2)若b，且A，求边长c的取值范围解析：(1)在ABC中，由余弦定理，得a2c2b22accosB.因为a2c2b2acsinB，所以2accosBacsinB，所以tanB.又因为0B，所以B.(2)因为ABC，所以CABA.由正弦定理，得2.所以c2sinC2sin.因为A，所以A，所以sin1.所以1c2.即边长c的取值范围是(1,2)
