1、2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设，则下列各不等式一定成立的是 ( )ABCD2已知向量(0，1，1)，(1，2，1)若向量+与向量(m，2，n)平行，则实数n的值是（ ）A6 B6 C4 D43.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代
2、数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）A一鹿、三分鹿之一 B一鹿 C三分鹿之二D三分鹿之一5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，则的值为 （ ）A16B32C8D6.下列不等式或命题一定成立的是( )lg(x2+)lgx(x0); sinx+2(xk,kZ)；x2+12|x|(xR); (xR)最小值为2.A. B. C. D. 7 已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 8. 设为数列的前项和,满足，则 （）A192B96C93D1899.若正数
3、a、b满足，设，则y的最大值是（ ）A.12 B. -12 C. 16 D. -16 10 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（ ）A-2B4C2D111已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如，则 （ ） A. 342 B. 345 C. 341 D. 346二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13命题p：“，都有”的否定： .14不等式的解集是_15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为
4、 16已知，那么的最小值为_ _三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分） 已知等差数列的前n项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn.18.（本题满分12分）已知，函数.（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。（2）当a=1时，解不等式.19.（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. 20.（本题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费
5、、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，依等差数列逐年递增设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)21.（本题满分12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.(1)证明：OD平面PAQ；(2)若BE=2AE，求二面角CBQA的余弦值。22. （本小题满分1
6、2分）已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F (1)求C1的标准方程； (2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得SOPQ=SOMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、 选择题B D A B A C C D A D A A二、 填空题13.使得 14. 15. 16. 10三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分） 已知等差数列的前n项和为，且， .（1）求数列的通项公式
7、；（2）设，求数列的前n项和Tn.17.（1）在等差数列中，解得,.3分综上所述，数列的通项公式是.5分（2）由(1)知：，又因为，.7分.10分综上所述，数列的前n项和是.10分18.（本题满分12分）已知，函数.（1）若对恒成立，求实数a的取值范围。（2）当a=1时，解不等式.18.(1)f(x)2x对x(0,2)恒成立，a+2x对x(0,2)恒成立，.2分x0+2x2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，.4分a2.6分(2)当a=1时，f(x)=1，f(x)2x，12x，若x0，则12x可化为：2x2x+10，所以x；.8分若x0，则12x可化为：2x2x10，解得：x1或x，x0)到点
8、F(2,0)的距离减去M到直线x=1的距离等于1，所以动点M到直线x=2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. .4分(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立,得k2x2+(4k28)x+4k2=0,(k0). 6分0，, x1x2=48分直线FA与直线FB的斜率之和=因为x1x2=4直线FA与直线FB的斜率之和为0， 11分直线FA与直线FB的倾斜角互补。12分20.（本题满分12分）【解】依题意f(n)144(02040602n)09n2分14401n(n1)09n01n2n144，nN*5分(没有定义域扣1分)设该车
9、的年平均费用为S万元，则有Sf(n)(01n2n144)n14417分n是正整数，故n144124134，10分当且仅当n(144)，即n12时，等号成立11分故汽车使用12年报废为宜12分21.（本题满分12分）(1)解法一(几何法)证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF;PFOB，AQOB,PFAQ，P、F. A.Q四点共面，又由图1可知OBOO1，平面ADO1O平面BCO1O，且平面ADO1O平面BCO1O=OO1，OB平面ADO1O，PF平面ADO1O，又OD平面ADO1O，PFOD. . 2分在直角梯形ADO1O中,.,OF=O1D,AOF=OO1D,AOFOO1D,FAO=DOO
10、1，FAO+AOD=DOO1+AOD=90，AFOD. . 4分AFPF=F，且AF平面PAQ，PF平面PAQ，OD平面PAQ. . 6分解法二(向量法) 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).点P为BC中点,P(0,3)， =(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m,3)，. 2分=0, =0, 且与不共线， .4分OD平面PAQ. . 6分(2)
11、BE=2AE,AQOB,AQ=OB=3，则Q(6,3,0), =(6,3,0), =(0,3,6).设平面CBQ的法向量为 =(x,y,z)，令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，. 8分又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，. 10分设二面角CBQA的平面角为，由图可知，为锐角，则cos=. 12分22（本题满分12分）(1) 依题意可知，即 由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3，所以C1的标准方程为. 3分(2) 依题意可知C2的方程为y2=4x，.4分假设存在符合题意的直线，设直线方程为x=ky1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，联立方程组得(3k2+4)y26ky9=0， 由韦达定理得y1+y2=，y1y2=， 则|y1y2|=，.6分（写出PQ长度也可以）联立方程组，得y2+4ky4=0，由韦达定理得y3+y4=4k，y3y4=4，所以|y3y4|=，. 8分（写出MN长度也可以）若SOPQ=SOMN，则PQ=2MN，. 10分则|y1y2|=|y3y4|，即=，解得k=，所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或xy+1=0. 12分
