1、第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)图 图2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线
2、所成的角，其范围为0，2.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为_m.50 2 由正弦定理得ABsinACB ACsin B，又B30，ABACsinACBsin B50 221250 2(m)2.如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向
3、上走 a米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米22 a 由题图可得PAQ30，BAQ15，PAB 中，PAB15，又PBC60，BPA(90)(90)30，asin 30 PBsin 15，PB 6 22a，PQPCCQPBsin asin 6 22asin 60asin 15 22 a.3.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_.32 a 由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，ACa，所以在 RtACB 中，ABACsinACB 32 a.考点 1 解三角形中的
4、实际问题 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解(1)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，
5、发现张角ABC120；从 B 处攀登 400 米到达 D处，回头看索道 AC，发现张角ADC150；从 D 处再攀登 800 米可到达 C 处，则索道 AC 的长为_米(1)10 3(2)400 13(1)如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN90030023010 3 32 30010 3(m)(2)在ABD 中，BD400 米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得BDsinDABADsinABD，所以 400sin 30ADsin 120，得 AD40
6、0 3(米)在ADC 中，DC800 米，ADC150，由余弦定理得 AC2AD2CD2 2ADCDcos ADC (4003)2 8002 24003 800cos 150 400213，解得 AC400 13(米)故索道 AC 的长为 400 13米(1)实际测量中的常见问题求 AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB atan tan tan tan 求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理ABa2b22abcos 河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理ABasin 求水平距离河对岸A
7、DC，BDC，BCD，ACD，CDa在 ADC 中，ACasin；在 BDC 中，BCasin；在 ABC 中，应用余弦定理求 AB(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)1.一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B在北偏东 60的方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15的方向上，这时船与灯塔的距离为_km.30 2 如图，由题意知，BAC30，ACB105，B45，AC60，由正弦定理得 BCsin 30 ACsin 45，BC30 2(km)2.如图所示，位于 A 处的信息中心获
8、悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_2114 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得 BC20 7.由正弦定理，得ABsinACBBCsinBAC，即 sinACBABBCsinBAC 217.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 77.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACB
9、sin 30 2114.考点 2 平面几何中的解三角形问题 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC34，ABAD，AB1.(1)若 AC 5，求ABC 的面积；(2)若ADC6，CD4，求 sinCAD.解(1)在ABC 中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBC
10、cosABC，即 51BC2 2BC，解得 BC 2，所以ABC 的面积 SABC12ABBCsinABC121 2 22 12.(2)设CAD，在ACD 中，由正弦定理得ACsinADCCDsinCAD，即 ACsin 6 4sin，在ABC 中，BAC2，BCA34 2 4，由正弦定理得ACsinABCABsinBCA，即 ACsin341sin4，两式相除，得sin34sin 64sin4sin，即 422 sin 22 cos 2sin，整理得 sin 2cos.又因为 sin2cos21，所以 sin 2 55，即 sinCAD2 55.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相
11、似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题(2019湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形 ABCD 中，0DAB2，AD2，AB3，ABD 的面积为3 32，ABBC.(1)求 sinABD 的值；(2)若BCD23，求 BC 的长解(1)因为ABD 的面积 S12ADABsinDAB1223sinDAB3 32，所以 sinDAB 32.又 0DAB2，所以DAB3，所以 cosDABcos 312.由余弦定理得BD AD2AB22ADABcosDAB 7，由正弦定理得 sinABDADsinDABBD 217.(2)因为 ABBC，所
12、以ABC2，sinDBCsin2ABD cosABD 1sin2ABD2 77.在BCD 中，由正弦定理CDsinDBCBDsinDCB可得 CDBDsinDBCsinDCB 4 33.由余弦定理 DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得 3BC24 3BC50，解得 BC 33 或 BC5 33(舍去)故 BC 的长为 33.考点 3 与三角形有关的最值(范围)问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范
13、围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 asinAC2bsin A.(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC2sin Bsin A.因为 sin A0，所以 sinAC2sin B.由 ABC180，可得 sinAC2cosB2，故 cosB22sinB2cosB2.因为 cosB20，故 sinB212，因此 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 34 a
14、.由正弦定理得 acsin Asin C sin120Csin C32tan C12.由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知 AC120，所以 30C90，故12a2，从而 38 SABC 32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32.求解三角形中的最值、范围问题的 2 个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如 ABC，0A，bcabc，三角形中大边对大角等教师备选例题设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
15、abtan A，且 B 为钝角(1)证明：BA2；(2)求 sin Asin C 的取值范围解(1)证明：由 abtan A 及正弦定理，得sin Acos Aabsin Asin B，所以 sin Bcos A，即 sinBsin 2A.因为 B 为钝角，所以 A 为锐角，所以2A2，则 B2A，即 BA2.(2)由(1)知，C(AB)2A2 22A0，所以 A0，4.于是 sin Asin Csin Asin22Asin Acos 2A2sin2Asin A12sin A14298.因为 0A4，所以 0sin A 22，因此 22 2sin A1429898.由此可知 sin Asin
16、C 的取值范围是22，98.1.在钝角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 acos Absin A，则 sin Asin C 的最大值为()A.2 B.98 C.1 D.78B acos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又 B 为钝角，BA2，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2sin A14298，sin Asin C 的最大值为98.2在ABC 中，b 3，B60，(1)求ABC 周长 l 的范围；(2)求ABC 面积最大值解(1)l 3ac，b23a2c22accos 60a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3ac22，ac2 3，当仅仅当 ac 时，取“”，又ac 3，2 3l3 3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，当且仅当 ac 时，取“”，SABC12acsin B123sin 603 34，ABC 面积最大值为3 34.
