1、玉溪一中20212022学年上学期高二年级期中考理科数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：飞超 审题人：张丹一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某试验的样本空间，事件，事件，则事件 A B C D2已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数为奇函数的是 ABCD4若直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 A BCD5已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为 A6BCD6在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，
2、直线的方向向量为，已知，则的坐标可以是 A B CD7已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ABCD8某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内，现将这100名学生的成绩按照， ，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是 A频率分布直方图中的值为0.040 B样本数据低于130分的频率为0.3 C总体的中位数（结果保留1位小数）估计值为123.3 D总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等9已知函数,若方程有3个根，则实数的取值范围是 A B C D10在三棱锥中，平面，为正三角形，且，则
3、三棱锥的外接球的表面积为 A B C D二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得3分11为了得到曲线，只需把曲线上所有的点 A先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度 D横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度12在空间直角坐标系中，平面内任意一点满足条件，且平面的法向量为，直线
4、过点，且直线的方向向量为，则下列说法正确的是 A平面与轴的交点为 B设，则 C若，则对任意点，都有 D若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线恒过定点，则点坐标为 14一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到白球的概率为 15经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 ；的斜率的取值范围是 16已知柯西不等式的向量形式为：设是两个向量，则，当且仅当时，等号成立若将和代入，计算化简可得三维形式的柯西不等式：，当且仅当时，等号成立若已知，根据三维形式的柯西不等式可求得的最小值为 四、解答题：本大题共6
5、小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知的三个顶点是，求：（1）边上的中线所在直线的一般式方程；（2）边上的高所在直线的一般式方程18（本小题满分12分）某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率的频数分布表如下：的分组企业数10404010（1）估计该市制造业企业中产值增长率不低于的企业比例及产值负增长的企业比例；（2）求该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）19（本小题满分12分）如图，正方体的棱长为，点，分别为，的中点（1）求证：
6、平面；（2）求证：平面20（本小题满分12分）垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为（1）求的值；（2）求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率21（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，
7、 ，点在线段上（1）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由22（本小题满分12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏已知，（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求的长；（3）鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由玉溪一中20212022学年上学期高二年级期中考理科数学试卷
8、参考答案一、单项选择题： C D D A B D B C C A二、多项选择题： AD ACD三、填空题： 13 14 15 ；. 16 四、解答题：17解：（1）边的中点，又直线过点， 所求直线的斜率,方程为：，即.5分（2）直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为，又直线过点，所求直线的方程为，即.10分18（1）制造业企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例，所以，估计该市制造业企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为.4分（2）100家制造业企业产值增长率的平均数为，.7分方差为.11分，所以该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值分别为和.
9、12分19解：法一、（1）取中点，连结，因为，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，从而 ，又因为平面，平面，所以平面.6分（2）点，分别为，的中点，在正方形中，可得，所以，设，因为，所以，即 中，所以，即，因为，所以.又因为平面，平面，所以，所以平面.12分法二、（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.6分（2），所以，因为， ，所以，所以，又因为，所以平面.12分20解：（1）设 “一轮活动中小明答对一题”，“一轮活动中小亮答对一题”，则，.设“一轮活动中，“明亮队”至少
10、答对的1道题”，则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以与相互独立，从而与相互独立，所以，.所以.4分（2）设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，1，2.由题意得，.8分，设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则.由于和相互独立，与互斥，所以.所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为.12分21（1）因为，所以， 因为 平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 因为四边形为矩形，所以以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.2分，所以 ，所以 ，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.5分 （2）因为平面，所以平面的法向量为.6分，设，因为点在线段上，所以，所以，由可得：，所以，在平面中，设平面的法向量，则，令，则， 得平面的法向量为 .8分，假设存在满足条件的点，则 ， 所以解得，或（舍去）. ，. 10分 所以，存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为，且的长度为.12分22解：（1），在中，由余弦定理可得，则，护栏的长度（的周长）为；.4分（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，由，得，所以，即.中，由可得.8分（3）鱼塘的面积有最小值，理由如下：设，由（2）知，中，由外角定理可得,又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.12分
