1、周练卷(5)一、选择题(每小题5分，共35分)1已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是(A)A平行B异面C相交 D垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得lm.2若直线a平面，b，则a与b的关系是( C)Aab，且a与b相交 Bab，且a与b不相交Cab Da与b不一定垂直解析：过直线b作一个平面，使得c，则bc.因为直线a平面，c，所以ac.因为bc，所以ab.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.3若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线a
2、垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( C)A直线a垂直于第二个平面B直线b垂直于第一个平面C直线a不一定垂直于第二个平面Da必定垂直于过b的平面解析：若b为两个平面的交线，则直线a垂直于第二个平面；若b不是两个平面的交线，则直线a不一定垂直于第二个平面4从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是( C)A60 B120C60或120 D不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.5在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，
3、则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为( C)A. B.C. D.解析：取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设ABa，则AA1AD2a，在ED1C1中可求出EC1a，在EFC1中可求出EFa，所以在EFG中，sinFEG，故选C.6如图所示，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是(B)AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为解析：因为平面ABD平面BCD，BDCD，所以CD平面ABD，所以CDBA
4、.由勾股定理，得ADBA.又因为CDADD，所以BA平面ACD，所以BAC90.7.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MPBN的点P所形成图形的周长是(D)A4 B2C3 D2解析：如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MGBC.设BN交AM于点E.BC平面ABB1A1，NB平面ABB1A1，NBMG.正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，在BEM中，MBE30，BME60，MEB90，即BNAM，又MGAMM，NB平面ADGM，使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)正
5、方体的棱长为1，矩形ADGM的周长等于2.故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)8已知直线l平面，垂足为A，直线PAl，则AP与平面的位置关系是AP.解析：设AP与l确定的平面为.假设AP，不妨设AM，AP与AM不重合，如图所示因为l，AM，所以lAM.又APl，所以在平面内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立所以AP.9.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为2.解析：易知BDC即二面角BADC的平面角，有BDC60，所以B
6、DC为等边三角形取BC的中点M，连接DM，AM，则易知DMBC，AMBC，所以二面角ABCD的平面角即AMD.在等边三角形ABC中，易知AD2，在等边三角形BDC中，易知DM，所以tanAMD2.10下列四个命题中，真命题的个数为1.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；若点M，M，l，则Ml；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内解析：只有正确11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DMPC(或BMPC)时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，因为四边形
7、ABCD各边都相等，所以四边形ABCD为菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.又PAACA，所以BD平面APC，所以BDPC.故当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD，而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.三、解答题(共45分)12.(本小题15分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PAADa.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MN平面PCD.证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，NEPD，EMDA，平面NEM平面PDA，MN
8、平面PAD.(2)PA平面ABCD，CDPA.底面ABCD是矩形，CDAD，又PAADA，CD平面PAD，CDPD.ENPD，ENCD，又CDEM，EMENE，CD平面ENM，MNCD.PM MC，N是PC的中点，MNPC.又CDPCC，MN平面PCD.13(本小题15分)已知ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF.证明：(1)在等边三角形ABC中，ADAE，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBC.DE平面BCF，BC
9、平面BCF，DE平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，AFBC，折叠后，AFCF.在BFC中，BC，BFCF，BC2BF2CF2，因此CFBF.又AF，BF相交于点F，CF平面ABF.14.(本小题15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形于是A1DAE.因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.
