1、专题27.39 相似三角形与动点问题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，在四边形ABCD中，AD/BC，ADBC，ABC90，且AB3，点E是边AB上的动点，当ADE、BCE、CDE两两相似时，则AE（）ABC或D或12如图，在钝角三角形ABC中，AB6cm，AC12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间是（）A3s或4.8sB3sC4.5sD4.5s或4.8s3如图，在中，点D与点A在直线的同侧，且，点E是线段延长线上的动点，当和相似时线段的长为（）A3BC3或
2、D4或4如图，在ABC中，BAC90，ABAC4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），ADE45，DE交AC于点E，下列结论：ADE与ACD一定相似；ABD与DCE一定相似；当AD3时，；0CE2其中正确的结论有几个？（）A4个B3个C2个D1个5如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点与相似，则的长为（）ABC或D或6如图，Rt中，ACB90，ABC60，BC2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，设E点的运
3、动时间为ts（0t6），连接DE，当与相似时，t的值为（）A2B2.5或3.5C3.5或4.5D2或3.5或4.57如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若POA和PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A0B1C2D38如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，D是ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作DEF，使DEFABC(相似比k1)，EFBC两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？()A12B11.52C13D89在的直角边边上有一动点（点P与点A、C不重合），过点作直线
4、截，使截得的三角形与相似，满足条件的直线最多有 （ ）A1条B2条C3条D4条10如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=2，BC=6，AB=7，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1/s，连结PC、PD若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（）A5个B4个C3个D2个二、填空题11如图，在中，点P是边的中点，点Q是边上一动点，若与相似，则的长为_12如图，在矩形中，点在上，且，点是边上的一个动点，连接和，当_时，和是相似三角形13如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足
5、，连接CD、CE，当点E坐标为_时，CDB与ACE相似14如图，中，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒当t为_时，与相似15在中，过点B作射线动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动过点E作交射线于F，G是中点，连接设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_16图，中，在BC的延长线上截取，连接AD，过点B作于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE上一个动点，若，当与相似时，BP的长为_17如
6、图，有一正方形，边长为，是边上的中点，对角线上有一动点，当与相似时，的值为_18如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQx轴于点Q，若以点P，O，Q为顶点的三角形与AOB相似，则点P的坐标为_三、解答题19如图，在直角三角形ABC中，直角边，设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动设P，Q移动的时间t秒（1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？（2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不
7、能，说明理由20已知：如图，直线MN，垂足为，点是射线DM上的一个动点，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F（1）求证：；（2）如果，求关于的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长21阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答(2)指出另一个错误，并给出正确解答拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB3cm，BC6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运
8、动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由22如图，在矩形ABCD中，E为AD边的一动点（不与端点重合），连接CE并延长，交BA的延长线于点F，延长EA至点G，使，分别连接BE，BG，FG(1) 在点E的运动过程中，四边形BEFG能否成为菱形？请判断并说明理由(2) 若与相似，求AE的长23如图，ABBD，CDBD，B、D分别为垂足(1)已知：APC90，求证：ABPPDC(2)已知：AB2，CD3，BD7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值(3)已知：AB2，CD3，点P是
9、直线BD上的一动点，设PBx，BDy，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式24如图，在矩形中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值(3)【拓展延伸】连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）参考答案1D【分析】分两种情况：当CED90时，和当CDE90时，利用角平分线的性质和直角三角形30角的性质分别可得AE的长，即可解题解：分两种情况：当CED
10、90时，如图1，过E作EFCD于F，AD/BC，ADBC，AB与CD不平行，当ADE、BCE、CDE两两相似时，BECCDEADE，ABCED90，BCEDCE，AEEF，EFBE，AEBEAB；当CDE90时，如图2，当ADE、BCE、CDE两两相似时，CEBCEDAED60，BCEDCE30，AB90，BEED2AE，AB3，AE1，综上，AE的值为或1；故选：D【点拨】本题考查了含30角的直角三角形、相似三角形的性质和判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键2A【分析】分当ADEABC时和当ADEACB时两种情况，利用相似三角形的性质进行求解即可解：由题意得：，当ADEABC时
11、，即，解得；当ADEACB时，即，解得；综上所述，当运动时间是3s或4.8s时，以A，D，E为顶点的三角形与ABC相似，故选A【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解3C【分析】根据，可得 ，然后分两种情况讨论，即可求解解：， ， ，当 时， ， ，解得： ；当时， ， ，解得：线段的长为3或故选：C【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键4A【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定正确；根据相似三角形对应边成比例，利用ADEACD得出比例式求得AE的长，进而得出正确；利用判定正确的结论，通过分析A
12、D的取值范围即可得出正确解：BAC90，ABAC4，BC45，BC4ADE45，ADEC45DAECAD，ADEACD正确；ADE45，ADB+EDC18045135B45，ADB+BAD18045135BADEDCBC，ABDDCE正确；由知：ADEACD，AD2AEAC正确；点D是边BC上一动点（不与B，C重合），0AD4垂线段最短，当ADBC时，AD取得最小值BC22AD4AD2AEAC，AE2AE4ECACAE4，0CE2正确综上，正确的结论有：故选：A【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三
13、角形的判定是解题的关键5C【分析】分和两种情况讨论，求得AE和BE的长度，根据勾股定理可求得DE和EC的长度，由此可得的长解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，A=B=90，若，则，即,解得或，当时，当时，若，则，即，解得（不符合题意，舍去），故或，故选：C【点拨】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，能结合图形，分类讨论是解题关键注意不要忽略了题干中格点三角形的定义6D【分析】由RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，当与相似时，为直角三角形，然后分别从若DEB=90与若EDB=90时，去分析求解即可求
14、得答案解：RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，AB=2BC=4（cm），BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，BD=BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），当与相似时，为直角三角形，若BED=90，当AB时，ABC=60，BDE=30，BE=BD=（cm），t=3.5，当BA时，t=4+0.5=4.5若BDE=90时，当AB时，ABC=60，BED=30，BE=2BD=2（cm），t=4-2=2，当BA时，t=4+2=6（舍去）综上可得：t的值为2或3.5或4.5故选：D【点拨】此题考查了含30角的直角三角形的性质，注意掌握分类讨论思
15、想与数形结合思想的应用，将相似问题转化为直角三角形问题是解题的关键7D【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分PAOPAB，PAOBAP两种情况分别求解即可.解：点P的纵坐标为，点P在直线y上，当PAOPAB时，ABb1OA1，b2，则P(1，)；当PAOBAP时，PA：ABOA：PA，PA2ABOA，b1，(b8)248，解得 b84，P(1，2+)或(1，2)，综上所述，符合条件的点P有3个，故选D【点拨】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.8A【分析】先判断面积最大时点D的位置，由BGDBAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，确定极值，AG=
16、3时，面积最大，于是得到结论解：AB2+AC2=100=BC2，BAC=90，DEFABC，EDF=BAC=90，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，DEFABC，B=E，EFBC，E=EMC，B=EMC，ABDE，同理：DFAC，四边形AGDH为平行四边形，EDF=90，四边形AGDH为矩形，GAAC，四边形AGDH为正方形，当点D在ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NMAC于M，矩形GNMA面积大于矩形AGDH，点D在ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最
17、大，如图3，点D在BC上，DEFABC，F=C，EFBCF=BDG，BDG=C，DGAC，BGDBAC，AH=8-GA，S矩形AGDH=AGAH=AG（8-AG）=-AG2+8AG，当AG=-=3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12故选A【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，9D【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于ABC的另一个角即可解：过点P作AB的垂线段PD，则ADPACB；过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则APEACB；过点P作AB的
18、平行线PF，交BC于F，则PCFACB；作PGC=A，则GCPACB故选D【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似10A解：因为ADBC，ABC=90，所以A=ABC=90，设点P运动t秒钟时，PAD与PBC是相似三角形，当点P在线段BA上时，因为AD=2，BC=6，AB=7，所以PB=t，PA=7-t，（1） 当PADPBC时，有，所以，解得t=；（2） （2）当PADCBP时，有，所以，解得t=3，t=4；当点P在线段BA的延长线上时，PB=t，PA=t-7，同理：当PADPB
19、C时，解得t=；当PADCBP时，解得t=，因为t0，所以t=，综上所述，t=或t=3或t=4或t=或t=，所以满足条件的点P共有5个，故选A考点：相似三角形的判定与性质115或【分析】根据题意分两类进行讨论：或，分别求得结果即可解：，点P是边的中点当时即解得：当时即解得：或故答案为：或【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键12或或【分析】分和两种情况讨论，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解解：四边形ABCD是矩形，且，AD=BC=4，AE=AD-DE=3，设，则，当时，即，解得：；当时，即，解得：当或或时，和是相似三角形故答案为：或或【点拨】本题考查了相似三
20、角形的性质，分类讨论是解题的关键13【分析】根据，可得OD=OE=DE，然后设点E（a，0），则OE=OD=a，从而得到BD=AE=4-a， 然后分四种情况讨论，即可求解解：，DEC=ACE，ODEOBA，OAB是等边三角形，ODE也是等边三角形，A=B=60，OD=OE=DE，设点E（a，0），则OE=OD=DE=a， BD=AE=4-a，若BCD=A=60时，则CDOA，CDB=60，BCD是等边三角形，BD=BC，BC=2AC，AB=4， AC=，AEAC，此时CDB与ACE不相似；同理若BDC=A=60时，CDB与ACE不相似；A与B是对应角，若BCDACE，此时，BC=AC=2，BD
21、=4，不合题意；若BCDAEC，此时，BC=2AE=2（4-a）=8-2a，BD=2AC，AB=4，解得：，点故答案为：【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键146或【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分与两种情况讨论,根据相似列方程解之即可解：动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，OE=tcm，根据与都是直角，O与O是对应点，因此分与两种情况讨论
22、，当，即时，解得：，当，即时，解得：，综上所述：当t=6或时，与相似，故答案时：6或【点拨】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键153或#或3【分析】若与相似，分情况讨论，则或，由相似三角形的性质可求解解：如下图：，是的中点，点D位于点E左侧时，即，解得：，若与相似，则或，或，或故答案为：3或【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题16或9【分析】先通过等腰三角形三线合一的性质得出BE垂直平分AD，可得，设，则，分别讨论当时，当时，根据相似三角形的性质求解即可解：，BE垂直平分AD，与相似，或，在中，设，则，在中，解得，在中， ，当时
23、，即，；当时，即，；综上，BP的长为或9，故答案为：或9【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键176或8【分析】根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可解：四边形ABCD是正方形 BCCD，C90是边上的中点DECECD在R tBCD中，由勾股定理得BD 设BFx，则有DF12x，当ABFFDE时，由 ，即，解得x6当ABFEDF时，由，即，解得，x8，综上所述，BF的值为6或8故答案为：6或8【点拨】此题考查相似三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，关键是根据相似三角形的性质列出方程
24、进行解答18（2，1）或（，）或（，）【分析】设，则，分或两种情形讨论，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求解即可解：点P为直线AB上一动点设，则，若以点P，O，Q为顶点的三角形与AOB相似，或或，令，则，令，则或解或或P（2，1）或（，）或（-，）故答案为：（2，1）或（，）或（，）【点拨】本题考查了相似三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，分类讨论是解题的关键19（1）秒；（2）或秒【分析】（1）根据是以为顶角的等腰三角形，可得BP=BQ，分别表示出BP和BQ，列出方程即可求出t的值；（2）分PBQABC与PBQCBA两种情况进行讨论，分别根据相似三角形对应比成比例列出方程求解即可解：
25、（1）直角边，由勾股定理可得，是以为顶角的等腰三角形，BP=BQ，即5-t=t，解得秒，当秒，是以为顶角的等腰三角形；（2）能理由：当PBQABC时，即，解得：秒；当PBQCBA时，即，解得：秒，当或秒时，与直角三角形ABC相似【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质20（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）根据直线MN，可得，再由BF平分，可得，即可求证；（2）作垂足为点H，根据，可得，从而得到，进而得到，再由角平分线的性质定理，可得再证得，可得，即可求解；（3）根据题意可得：点D、E、F为顶点的三角形
26、与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似然后分两种情况讨论即可求解解：（1）直线MN，BF平分，；（2）作垂足为点H，；BF平分，直线MN， ，即，解得：；（3）如图，连接DF，设，由，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似，若，则，又，由（2）得：，解得：（舍去负值），若，则 ， ，即，BED=AEF，AEFBED，AFE=BDE，由（2）得：，是锐角，而是直角，所以这种情况不成立综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，AE的长为【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，角平分线的性质
27、定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键21(1)，解答见分析(2)没有进行分类讨论，见分析(3)存在，t或t【分析】（1）根据三角形相似的性质可得，再进行计算即可；（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可解：（1）由题意得正确比例式是：， DE；（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作ADEACB，又AA，则ADEACB，DE，综合以上可得：DE为或（3）由题意可知，有两种情况，第一种：当时，设AM=t，则AN=6-2t，则由得，解得：t=；第二种：当时，则由，解得：t=，综上所述，当t或t时以A，
28、M，N为顶点的三角形与ACD相似【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论22(1)能，理由见分析(2)或【分析】（1）当点E为AD的中点时，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行判断即可；（2）直接利用相似三角形的性质得到对应边成比例，求解即可，注意分类讨论对应边解：(1)当点E为AD的中点时，则AE是FBC的中位线，点A是BF的中点，AF=AB，矩形ABCD中，BAD=90，BFGE，GE与BF互相垂直平分，四边形BEFG为菱形(2)矩形ABCD中，AB=CD，若则，；若,，,，解得：；AE的长为或【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、三角形中位线的判定
29、与性质、菱形的判定、一元二次方程等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与性质，并能灵活运用，本题蕴含了分类讨论和转化的思想方法23(1)证明见分析；(2)PB1，或PB6，或PB；(3)当P 线段BD上时ABPPDC时，；ABPCDP，；当点P在在BD的延长线上时，或和【分析】（1）由于ABBD，CDBD，可知B与D为直角，又APC90，则APB+CPD90，可以得出ACPD，从而证出ABPPDC（2）设PBx，则PD为（7x），然后分两种情况讨论：ABPPDC；ABPCDP据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时ABPPD
30、C；ABPCDP据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；（1）解：证明：ABBD，CDBD，BD90，A+APB90，又APB+CPD90，ACPD，由，ABPPDC（2）设PBx，则PD为（7x），ABPPDC时，即，解得，（x1）（x6）0，x1或x6，ABPCDP，即，解得x综上所述，PB1，或PB6，或PB（3）当P 线段BD上时ABPPDC时，即，整理得，yx+；ABPCDP，即整理得，yx当点P在在BD的延长线上时，ABPPDC时，PDPBBDxy，yx当P在DB的延长
31、线时，PBACDP，yxPABPCD时，yx【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键24(1)见分析(2)或(3)或【分析】（1）根据题意可得A=D=BEG=90，可得DEH=ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据ABEDEH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解（1）解：根据题意得：A=D=BEG=90，AEB+DEH=90，AEB+ABE=90，DEH=ABE，ABEDEH；（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，ABEDEH，解得：或，或，或；（3）解：矩形矩形，EG=nBE，如图，当FH=BH时，BEH=FGH=90，BE=FG，RtBEHRtFGH，EH=GH=，ABEDEH，即，；如图，当FH=BF=nBE时，ABEDEH，即，；综上所述，的值为或【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键
