1、专题27.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】【人教版】【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】1【题型2 三角板与相似三角形综合运用】2【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】3【题型4 折叠与相似三角形综合运用】6【题型5 判断与相似有关结论的正误】7【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】8【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】9【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】11【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】12【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】【例1】（2023春福建福州九年级校考阶段练习）已知菱形ABCD中，E是BC边上一点(1)在BC的右侧求
2、作AEF，使得EFBD，且EF=12BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若EAF=12ABC，求证：AE=2EF【变式1-1】（2023陕西九年级校考阶段练习）如图，ABC中，ABAC，A108，请你利用尺规在BC边上求一点P，使PABABC（不写画法，保留作图痕迹）【变式1-2】（2023陕西西安西安行知中学校考模拟预测）如图，在ABC中，AMBC请用尺规作图法，在射线AM上求作一点D，使得DCAABC（保留作图痕迹，不写作法）【变式1-3】（2023春河北保定九年级统考期末）在ABC中，ACB=90，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使ACDABC，根据
3、下列作图痕迹判断，正确的是（）ABCD【题型2 三角板与相似三角形综合运用】【例2】（2023春上海九年级专题练习）等边ABC边长为6，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CFAE2，（CFBP），如图3，求PE的长【变式2-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经
4、过点C，另一直角边与射线AB交于点E(1)求证：AEPDPC；(2)当CPD=30时，求PE的长；(3)是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由【变式2-2】（2023春江苏泰州九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q则DP DQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ则DP的长为 【变式2-3】（2023春广东
5、广州九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足CME=2ADE，EM= 【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】【例3】（2023春全国九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM2乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM32下列说法正确的是（）A甲的分割方式不正确B甲的分割方式正确，
6、AM的值求解不正确C乙的分割方式与所求AM的值都正确D乙的分割方式正确，AM的值求解不正确【变式3-1】（2023河北保定统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为ABC的13，则下列关于P点位置的叙述正确的是（）A在FE上，但不与F点也不与E点重合B在DF上，但不与D点也不与F点重合C与E点重合D与D点重合【变式3-2】（2023福建泉州中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；如果沿BC、GH将展开图剪
7、成三块，恰好拼成一个矩形，那么BMC应满足什么条件？（不必说理）（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）【变式3-3】（2023吉林长春一模）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图(1)图中，CMD=_
8、；线段NF=_(2)图中，试判断AND的形状，并给出证明剪一剪、折一折：将图中的AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，分别得到图、图(3)图中，阴影部分的周长为_(4)图中，若AGN=80，则AHD=_.(5)图中，相似三角形(包括全等三角形)共有_对(6)如图，点A落在边ND上，若AN=2AD，则AGAH=_【题型4 折叠与相似三角形综合运用】【例4】（2023辽宁鞍山统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到DCE，CE与AD交于F，点N为DE中点，射线AN交CD边于点G，连接AE，若FAE=FEC，AB=15，BC=6，则
9、DG长为_【变式4-1】2023上海九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，连接DE，将ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF=14BC，那么CG的长是 【变式4-2】（2023安徽九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证EG212GFAF；（3）若AG3，EG5，求BE的长【变式4-3】（2023安徽模拟预测）如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED
10、上点C处，连接FC并延长交AE于点G若AB=8，AD=5，则FG长为（）A52B29C203D4【题型5 判断与相似有关结论的正误】【例5】（2023春湖北襄阳九年级统考期中）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EFCE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：EF=EC；CF2=CGCA；BEDH=16；若BF=1，则DE=322，正确的是（）ABCD【变式5-1】（2023内蒙古赤峰统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合DE交BC于点F，交AB延长线于点EDQ交BC于点P，D
11、MAB于点M，AM=4，则下列结论，DQ=EQ，BQ=3，BP=158，BDFQ正确的是（）ABCD【变式5-2】（2023山东泰安统考二模）如图，正ABC的边长为2，沿ABC的边AC翻折得ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60交BC于点N，连接MN、OM以下四个结论：AMN是等边三角形：MN的最小值是3；当MN最小时SCMN=18S菱形ABCD；当OMBC时，OA2=DNAB正确的是（）ABCD【变式5-3】（2023春四川绵阳九年级统考期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是ABC，ACB的平分线的交点，FOG=120，绕点O旋转FO
12、G，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE有下列四个结论：OD=OE；SODE=SBDE；四边形ODBE的面积始终等于433；BDE周长的最小值为6，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】【例6】（2023春安徽九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EFFG且EF=FG(1)如图1，当点G在CD上时，求证：DG=BE；(2)如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2=MNMD【变式6-1】（2023春山东泰安九年级统考期末）如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延
13、长线上，ADE=60(1)求证：AD2=AEAC；(2)求证：ABDDCE【变式6-2】（2023春湖南益阳九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AFAE交CB的延长线于点F，设DE=a(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GCAE时，求证：EA=EC【变式6-3】（2023全国九年级专题练习）如图，在ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=14AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D求证：BC2CD【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】【例7】（2023
14、广东佛山佛山市华英学校校考一模）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F若CD2，则AFAC= 【变式7-1】（2023春安徽宿州九年级校考期中）如图，在ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则AGGF的值是 【变式7-2】（2023安徽亳州校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，F在BC边上，且EF=EC，垂足为点H，连接FG(1)若GCB=20，求BEC的度数；(2)求证：BG=2DE；(3)若F为BC的中点，求GHHF的值【变式7-3】（2023江苏苏州统考三模）【问
15、题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AEDF于点G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由【初步运用】(2)如图2，在ABC中，BAC=90，ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AEBD于点E，交BC于点F，求AFBD的值【灵活运用】(3)如图3，在四边形ABCD中，BAD=90，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DECF，垂足为G，则CFDE=_【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】【例8】（202
16、3春黑龙江大庆九年级校考开学考试）如图，在RtABC中，BAC=90,AB=1，AC=22 点D，E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小值为（）A89B169C29D1629【变式8-1】（2023陕西宝鸡统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为 【变式8-2】（2023广东广州校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿F
17、C向点C运动，连接PQ，过点B作BHPQ于点H，连接DH若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH长度的最小值为 【变式8-3】（2023春江苏镇江九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一点，BE=2F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k（k为常数，k0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G设BF的长为x，GH的长为y(1)若x=4，y=6，则k的值是 (2)若k=1时，求y的最大值(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值【题型9 利用相似三角形的判定与性质
18、解决几何动点问题】【例9】（2023春江苏宿迁九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，CAB=60，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作RtDEF，使得DEF=60，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是 【变式9-1】（2023春山东青岛九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=10，AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PEAB，交线段AD于点E，若P
19、，Q两点同时出发，设运动时间为t秒(0t3)(1)当BE平分ABC时，求t的值；(2)连接CE，设四边形PBCE的面积为S，求出S与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使得CEQP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【变式9-2】（2023春吉林白山九年级校联考期中）如图所示，RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，D是AB的中点，以PA，AD为邻边作APED，设点P的运动时间为t秒(1)用含t的代数式表示线段PC的长；(2)当点E落在边BC上时，求t的值；(3)当点P在线段AC上运动时，连接PD，若PDE为钝角三角形，求t的取值范围【变式9-3】（2023春重庆永川九年级重庆市永川中学校校考阶段练习）在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是射线BA上一动点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90得线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接BF(1)如图1，若点D在线段BA延长线上，连接BE，若DE=6，求BF的长；(2)如图2，若点D在线段AB上，连接CF，求证：CF=BF；(3)如图3，点P是BC的中点，连接CF，AF，PF，若BC=4，当ACF为等腰三角形时，求PF的长（直接写出答案即可）
