1、单元素养评价(二)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】选B.观察知数列an满足:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+34=32.2.已知数列an的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为 ()A.Sn=B.Sn=C.Sn=D.Sn=【解析】选A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),所以Sn=Sn-1(n2,nN*),S1=a1=1,则S2=,S3=,S4=.所以猜
2、想得Sn=.3.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是()A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.应对结论进行否定,则+不是无理数,即+是有理数.4.已知f(x+1)=,f(1)=1(xN+),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选B.当x=1时,f(2)=;当x=2时,f(3)=;当x=3时,f(4)=.故可猜想f(x)=.5.仔细观察下面和的排列规律:若依此规律继续下去,得到一系列的和,那么在前120个和中,的个数是()A.13B.14C.15D.16【解析】选B.进行分组|.则前n组两
3、种圈的总数是f(n)=2+3+4+(n+1)=,易知f(14)=119, f(15)=135,所以在前120个和中,的个数是14.6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有 ()两个球体;两个长方体;两个正四面体;两个正三棱柱;两个正四棱锥.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C.类比相似形中的对应边成比例知,属于相似体.7.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f(x)=ex-.因为x0,所以ex1,00,即f(x)0.所以f(
4、x)在(0,+)上是增函数,使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】选A.从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.8.已知函数f(x)=sin(2x+),满足f(x)f(a)对xR恒成立,则函数()A.f(x-a)一定为奇函数B.f(x-a)一定为偶函数C.f(x+a)一定为奇函数D.f(x+a)一定为偶函数【解析】选D.由题意得,f(a)=sin(2a+)=1时,2a+=2k+,kZ,所以f(x+a)=sin(2x+2a+)=sin2x+2k+=cos 2x,此时函数为偶函数.9.(2020浙江高考)设集合S,T,SN*,TN*,S,T中至少有两个元素
5、,且S,T满足:对于任意x,yS,若xy,都有xyT;对于任意x,yT,若xy,则S;下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则ST有7个元素B.若S有4个元素,则ST有6个元素C.若S有3个元素,则ST有4个元素D.若S有3个元素,则ST有5个元素【解析】选A.对于AB,构造S=q,q2,q3,q4,则T=q3,q4,q5,q6,q7,q1且qN*,则ST=q,q2,q3,q4,q5,q6,q7共7个元素,对于CD,不妨设S=a,b,c,且abacab,所以,S,显然,=b,=a,=a,则S=a,a2,a3,T=a3,a4,a5,ST有5个元素,=ca=1,=b,有2种可能,()=a,b=c
6、与S为集合矛盾,()=b,b2=c,S=,T=,ST有4个元素,所以,当S中有三个元素时,ST的元素个数可为4,可为5,不唯一.10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中.“n阶幻方(n3,nN*)”是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为()816357492A.75B.65C.55D.45【解析】选B.依题意“5阶幻方”的幻和为=65.11.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,下列判断一定正确的是 ()A.ABPCB.AC平面PBDC.BC平
7、面PABD.平面PBC平面PDC【解析】选C.因为PA平面ABCD,所以ABPA,若ABPC,则AB平面PAC,所以ABAC,这是不可能的,所以ABPC不成立.设ACBD=O,连接PO,若AC平面PBD,则ACPO,这是不可能的,所以AC平面PBD不成立.因为BCAB,BCPA,ABPA=A,所以BC平面PAB.12.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2 009,则i与j的和为()124357681012911131517141618202224A.105B.106C.107
8、D.108【解析】选C.由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=21 005-1,所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1 024,故2 009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2962-1=1 923,2 009=1 923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)13.若bn是等比数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论: =1.类比上述性质,相应地,若an是等差数列
9、, m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:_.【解析】等差数列中的an,am,ap可以类比等比数列中的bn,bm,bp,等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”.等差数列中的“积”可以类比等比数列中的“乘方”.故m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=0.答案:m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=014.已知bn为等比数列,b5=2,则b1b2b9=29,若an为等差数列,a5=2,则在数列an中类似的结论为_.【解析】由等差数列的性质知:a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.所以a1+a2+a9=9a5=29.答案:a1+a2+a
10、9=2915.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.【证明】假设p为奇数,则_均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为_.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=_.与矛盾,故p为偶数.【解析】由假设p为奇数可知,(a1-1),(a2-2),(a7-7)均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0为奇数,这与0为偶数相矛盾.答案:(a1-1),(a2-2),(
11、a7-7)奇数016.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m3(mN*)的分解式中最小的数是73,则m的值为_.【解析】根据23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9,若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首数为m2-m+1.因为m3(mN*)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,所以m=9.答案:9三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,
12、一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.(1)求第11行的实心圆点的个数.(2)用an,an+1,an+2分别表示第n行,第n+1行,第n+2行的实心圆点的个数.试猜想an,an+1,an+2之间的关系.【解析】(1)前6行中实心圆点的个数依次为:0,1,1,2,3,5,据此猜想这个数列的规律为:从第3项起,每一项都等于它前面两项的和,故续写这个数列到第11行如下:8,13,21,34,55,所以第11行的实心圆点的个数是55.(2)由(1)可猜想an+2=an+an+1.18.(12分)在平面几何中,对于
13、RtABC,C=90,设AB=c,AC=b,BC=a,则(1)a2+b2=c2.(2)cos2A+cos2B=1.(3)RtABC的外接圆半径r=.把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.【解析】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面积为S,则+=S2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R=.19.(12分)(1)用反证法证明:若a,b,cR,且x=a2-2b+1,y=b2-2c
14、+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0;(2)用分析法证明:-2-.【证明】(1)假设x,y,z均小于0,即:x=a2-2b+10;y=b2-2c+10;z=c2-2a+10;+得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)20,2+0,从而-2-+2+(+)2(2+)29+29+4241820,因为18cos A+cos B+cos C.【证明】因为ABC为锐角三角形,所以A+B,所以A-B.因为y=sin x在上是增加的,所以sin Asin=cos B,同理可得sin Bcos C,sin Ccos A,所以sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.21.(12分)设an是集合2t+2s|0s0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;(2)若数列bn为等差数列,且公差d0,证明:c1+c2+cn0得q=,所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,所以=4,所以cn是首项c1=1,公比为4的等比数列,cn=4n-1,由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+4n-2得an=.(2)bn=1+(n-1)d,则bn+1 bn+2cn+1=bnbn+1cn=b1b2c1=1+d,故cn=.于是c1+cn=1+,得证.
