1、专题检测（十一） 空间位置关系的判断与证明A组“633”考点落实练一、选择题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件.故选B.2.(2019福州市第一学期抽测)已知m为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若m，则mB.若m，则mC.若m，则mD.若m，则m解析：选A对于A
2、，利用线面垂直的性质与判定定理、面面平行的性质定理，可得m，A正确；对于B，若m，则m与平行或m在内，B不正确；对于C，若m，则m与平行或m在内，C不正确；对于D，若m，则m可以在内，D不正确.故选A.3.在正三棱柱ABCA1B1C1中，|AB|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为()A.30 B.60C.75 D.90解析：选D将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角.设BB1，则BCCD2，BCD120，BD2，又因为BC1C1D，所以BC1D90.故选D.4.(2019长沙市统一模拟考试)设a，b，c表
3、示不同直线，表示不同平面，下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab.真命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析：选A由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据ab，b，可以推出a或a，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出a与b平行、相交或异面，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出ab或a与b异面，故是假命题.所以真命题的个数是1.故选A.5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面A
4、DC平面ABC.其中正确的结论是()A. B.C. D.解析：选B由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，结合知正确；由知不正确.故选B.6.(2019湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，G为BF的中点，则在正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C该正四面体如图所示，取AD的中点H，连接GH，EH，则GHAB，所以HGE为直线EG与直线BC所成的角.设该正四面体的棱长为2，则HEEG，GH1.在HEG中，由
5、余弦定理，得cosHGE.故选C.二、填空题7.(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：.证明如下： m， 根据线面平行的性质定理，知存在n ，使得mn.又 l， ln， lm.证明略.答案：(或)8.若P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下四个命题：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正确的个数是_.解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正确的只有.答案：9.(2018全国卷
6、)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_.解析：如图，SA与底面成45角，SAO为等腰直角三角形.设OAr，则SOr，SASBr.在SAB中，cos ASB，sin ASB，SSABSASBsin ASB(r)25，解得r2，SAr4，即母线长l4，S圆锥侧rl2440.答案：40三、解答题10.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ABAD，AA14，DC2AB，ABAD3，点M在棱A1B1上，且A1MA1B1.已知点E是直线CD上的一点，AM平面BC1E.(1)试确定点E
7、的位置，并说明理由；(2)求三棱锥MBC1E的体积.解：(1)点E在线段CD上且EC1，理由如下.在棱C1D1上取点N，使得D1NA1M1，连接MN，DN(图略)，又D1NA1M，所以MN綊A1D1綊AD.所以四边形AMND为平行四边形，所以AMDN.因为CE1，所以易知DNEC1，所以AMEC1，又AM平面BC1E，EC1平面BC1E，所以AM平面BC1E.故点E在线段CD上且EC1.(2)由(1)知，AM平面BC1E，所以V三棱锥MBC1EV三棱锥ABC1EV三棱锥C1ABE46.11.(2019石家庄市模拟一)如图，已知三棱锥PABC中，PCAB，ABC是边长为2的正三角形，PB4，PB
8、C60.(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比.解：(1)证明：在PBC中，PBC60，BC2，PB4，由余弦定理可得PC2，PC2BC2PB2，PCBC，又PCAB，ABBCB，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，则VFACESACEh1SABChSABChVPABC.三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为12.12.(2019重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥PABCD中，CADABC90，BACADC30，
9、PA平面ABCD，E为PD的中点，AC2.(1)求证：AE平面PBC；(2)若四面体PABC的体积为，求PCD的面积.解：(1)证明：如图，取CD的中点F，连接EF，AF，则EFPC，又易知BCDAFD120，AFBC，又EFAFF，PCBCC，平面AEF平面PBC.又AE平面AEF，AE平面PBC.(2)由已知得，V四面体PABCABBCPA，可得PA2.过A作AQCD于Q，连接PQ，在ACD中，AC2，CAD90，ADC30，CD4，AD2，AQ，则PQ .PA平面ABCD，PACD.又AQPAA，CD平面PAQ，CDPQ.SPCD42.B组大题专攻强化练1.(2019兰州市诊断考试)如图
10、，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PCD为正三角形，BAD30，AD4，AB2，平面PCD平面ABCD，E为PC的中点.(1)证明：BEPC；(2)求多面体PABED的体积.解：(1)证明：BD2AB2AD22ABADcos BAD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD，BDCD.平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，BD平面PCD，BDPC.PCD为正三角形，E为PC的中点，DEPC，PC平面BDE，BEPC.(2)如图，作PFCD，EGCD，F，G为垂足，平面PCD平面ABCD，PF平面ABCD，EG平面ABCD，PCD为正三角形，CD2，PF3，EG，V
11、四棱锥PABCD2234，V三棱锥EBCD22，多面体PABED的体积V43.2.(2019昆明市诊断测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD平面ABCD，ADBD6，AB6，E是棱PC上的一点.(1)证明：BC平面PBD；(2)若PA平面BDE，求的值；(3)在(2)的条件下，三棱锥PBDE的体积是18，求点D到平面PAB的距离.解：(1)证明：由已知条件可知AD2BD2AB2，所以ADBD.因为PD平面ABCD，所以PDAD.又PDBDD，所以AD平面PBD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD，所以BC平面PBD.(2)如图，连接AC交BD于F，连接EF，
12、则EF是平面PAC与平面BDE的交线.因为PA平面BDE，所以PAEF.因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，所以.(3)因为PD平面ABCD，所以PDAD，PDBD，由(1)(2)知点E到平面PBD的距离等于BC3.因为V三棱锥EPBDV三棱锥PBDE18，所以PDBD318，即PD6.又ADBD6，所以PA6，PB6，又AB6，所以PAB是等边三角形，则SPAB18.设点D到平面PAB的距离为d，因为V三棱锥DPABV三棱锥PABD，所以18d666，解得d2.所以点D到平面PAB的距离为2.3.(2019郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BA
13、D，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB.(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE
14、于点H，过H作HGPF交PC于G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.4.(2019东北四市联合体模拟一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置.(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离.解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB ，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d.
