1、5从力做功到向量的数量积填一填1.向量的夹角与投影(1)夹角：定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则_叫作向量a与b的夹角；范围：_；大小与向量共线、垂直的关系：(2)投影：定义：如图所示：a，b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1_._叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)大小与夹角的关系：夹角0锐角90钝角180射影_2.向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作_，即ab_.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影_的乘积，或b的长度_与a在b方向上投影_的乘积(3)物理意义：力对物
2、体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 _.(4)性质：若e是单位向量，则eaae_；ab_(其中a，b为非零向量)；|a|；cos_(|a|b|0)；对任意两个向量a，b，有|ab|_|a|b|.(5)运算律：交换律：ab_.结合律：(a)b_.分配律：a(bc)_.判一判1.向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同()2设向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()3零向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()4两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量()5由ab0可得a0或b0.()6(ab)ca(bc)()7两个向量的数量积与实数乘法一致，ab也
3、可以写成ab或ab.()8当两个非零向量互相垂直时，其夹角的正弦值为0.()想一想1.两个向量的数量积与两个实数的积有什么区别？提示：(1)在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中cos 有可能为0.(2)已知实数a，b，c(b0)，则abbcac.但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.2如何正确理解“投影”的概念？提示：(1)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零(2)夹角与投影的联系向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，向量b
4、在a的方向上的投影|b|cos 与取值的关系如表.的取值0投影的值|b|b|正值负值零图示思考感悟：练一练1.若|m|4，|n|6，m与n的夹角为45，则mn()A12 B12C12 D122若ab0，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.3已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_4已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_知识点一数量积的运算1.在ABC中，|1，|，|2，则()A. B1C. D12已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)a2b2.(2)(2ab)(a3b)知识点二,投影问题3.已知向量a，b，若a在b方
5、向上的投影为3，|b|2，则ab_.4已知向量a，b的夹角为120，且|a|2，|b|3，则向量2a3b在向量2ab方向上的投影为_.知识点三向量的模与夹角5.已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|()A1 B3C4 D56已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角综合知识数量积的应用7.在ABC中，若，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形8在ABC中，C90，|AB|6，点P满足|CP|2，则的最大值为()A9 B16C18 D25基础达标一、选择题1已知|b|3，a在b方向上的投影为，则ab()
6、A3 B.C2 D.2给出以下结论：0a0abbaa2|a|2(ab)ca(bc)|ab|ab. 其中正确结论的个数为()A1 B2C3 D43设向量|ab|2，|ab|2，则ab()A. B.C2 D34已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|()A1 B.C. D35设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B.C. D.6已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.7设P为ABC所在平面内一点，且满足，则P是ABC的()A重心 B垂心C外心 D内心8在平面上，四边形AB
7、CD满足，0，则四边形ABCD为()A梯形 B正方形C菱形 D矩形二、填空题9若|a|3，|b|2，且a与b的夹角为60，则|ab|_.10已知|a|4，e为单位向量，a在e方向上的投影为2，则a与e的夹角为_11在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_12已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_三、解答题13设向量a，b满足|a|b|1，且|2ab|.(1)求|2a3b|；(2)求3ab与a2b的夹角.14已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60.(1)求|ab|的值；(2)当实数x为何值时，xab与a3b垂直？能力提升15.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61
8、.(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影16已知ab，且|a|2，|b|1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值5从力做功到向量的数量积一测基础过关填一填1(1)AOB0180同向反向(2)|b|cos|b|cos|b|正值0负值|b|2(1)|a|b|cosab|a|b|cos(2)|b|cos|b|a|cos(3)Fs(4)|a|cosab0(5)ba(ab)a(b)abac判一判12.3.4.5.6.7.8.练一练1B2.A3.4.二测考点落实1解析：在ABC中，已知|1，|，|2，可知ABC为直角三角形，且A，则|cos A12
9、1.答案：B2解析：(1)a2b2|a|2|b|232427.(2)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|223253434260.3解析：投影也是一个数量，不是向量；当向量夹角 为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当0时投影为|a|；当180时投影为|a|.由题意可得|a|cosa，b3，所以ab|a|b|cosa，b6.答案：64解析：投影为.答案：5解析：根据条件，(ab)2a22abb293|b|b|213，所以解得|b|4或1(舍去)答案：C6解析：由已知条件得即得23b246ab0，所以2abb2，代入得a2b2
10、，所以|a|b|，所以cos .因为0，所以.7解析：在ABC中，()，0，C90，ABC为直角三角形答案：D8解析：取AB的中点D，连接CD.()()()()2224242|cos 4223cos 412cos ，其中为与的夹角，所以当0时，的最大值为16.答案：B三测学业达标1解析：设a与b的夹角为，因为|a|cos ，|b|3，所以ab|a|b|cos 3.答案：B2解析：显然正确；(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线，故错误；ab是一个实数，应该有|ab|ab，故错误答案：C3解析：由|ab|2两边平方得a22abb212，由|ab|2两边平方得a22abb24.两式相减得4ab8
11、，所以ab2.答案：C4解析：由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|.答案：C5解析：|a2b|.答案：B6解析：因为a(2ab)，所以a(2ab)0，所以2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0，因为|b|4|a|，所以2|a|24|a|2cosa，b0，所以cosa，b，因为a，b0，所以a，b.答案：C7解析：由，得()0，即PBCA，同理PABC，PCBA，所以P是ABC的垂心，故选B.答案：B8解析：，|，且ABDC，四边形ABCD是平行四边形，0，ACBD，四边形ABCD是菱形，故选C.答
12、案：C9解析：|a|3，|b|2，且a与b的夹角为60，|ab|.答案：10解析：因为a在e方向上的投影为2，即|a|cosa，e2，所以cosa，e，a，e120.答案：12011解析：易知|2|2|2，C90，cos B. 又，180B，|cos(180B)13525.答案：2512解析：|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形答案：等边三角形13解析：(1)|2ab|24a24abb244ab15，ab0，|2a3b|.(2)cos ，又0，.14解析：(1)由已知得ab|a|b|cos603，所以|ab|.(2)因为xab与a3b垂直，所以(xab)(a3b)0，即xa2(3x1)ab3b213x300，所以x.15解析：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，ab6，|ab|.(2)a(ab)|a|2ab42610，向量a在向量ab方向上的投影为.16解析：ab，ab0.又由已知得a(t3)b(katb)0，ka2t(t3)b20，|a|2，|b|1，4kt(t3)0，k2.故当t时，k取最小值.
