1、11集合的含义及其表示1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系2.理解集合元素的特征3掌握集合的表示方法1集合(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(2)记法：通常用大写拉丁字母表示(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR2.元素(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元(2)记法：通常用小写拉丁字母表示(3)特性：确定性、互异性、无序性3元素与集合的关系关系定义记法读法属 于a是集合A的元素aAa属于A不属于a不是集合A的元素aA或aAa不属于A4.集合的常用表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合
2、的元素一一列举出来，并置于花括号“”内a1，a2，an，描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来x|p(x)Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合5.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等6集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为1，1，2，3( )(2)集合(1，2)中的元素是1和2.( )(3)集合Ax|x10与集合B1表示同一个集合( )答案：(1
3、)(2)(3)2不等式x320或x0，aR，若1A，2A，则()Aa4 Ba2C4a2 D4a2(2)用适当的符号填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有17_A；5_A.解析：(1)因为1A，2A，所以即4a2.(2)由题意可设x3k2，kZ，令3k217，则k5Z .所以17A.令3k25，则kZ.所以5A.答案：(1)D(2)集合中元素的特性学生用书P3已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值为_【解析】若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，所以a1；当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合元素的互异性，所以a1.【答案】1若去掉本例中的条件“
4、1A”，则实数a的取值范围是什么？解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以aa2，即a0且a1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 3.(1)若集合M中的三个元素是ABC的三边长，则ABC一定不是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形(2)若集合A中有三个元素x，x1，1，集合B中也有三个元素x，xx2，x2，且AB，求实数x的值解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)因为AB，所以或解得x1.经检验，x1不满足集合元素的互异性，而x1满足，所以x1.集合中元素的表示学生用书P3用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于
5、13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)方程x22x10的实数根组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(4)二次函数yx22x10的图象上所有的点组成的集合；(5)二次函数yx22x10的图象上所有点的纵坐标组成的集合【解】(1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为3，5，7，11(2)方程x22x10的实数根为1，因此可用列举法表示为1，也可用描述法表示为xR|x22x10(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为(x，y)|x0(4)二次函数yx22x10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，
6、y)，其中x，y满足yx22x10，由于点有无数个，则用描述法表示为(x，y)|yx22x10(5)二次函数yx22x10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为y|yx22x10用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合 4.设集合B.(1)试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解：(1)当x1时，2N.当x2时，N.所以1B，2B.(2)因为N，xN，所以2x只能取2，3，6.所以x只能取0，1，4.所以B0，1，41集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元
7、素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物2集合中元素的三个特性(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合3对符号“”与“”的理解(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，
8、只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的4列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏(3)“”本身带有“所有的”或“的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号5描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等
9、(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内下列各组中M，P表示同一集合的序号是_M3，1，P(3，1)；M(3，1)，P(1，3)；My|yx21，xR，Px|xt21，tR；My|yx1，xR，P(x，y)|yx1，xR解析中，M是由3，1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，1)构成的集合；中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故MP；中，M是一次函数yx1，xR的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数yx1，xR图象上所有点组成的集合答案(1)本题易误选或，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误(2)解答此类问题，要明
10、确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式1下列各组对象能构成集合的是()A平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B大于5且小于5的有理数C新华书店中有意义的小说D(3.141)的近似值的全体解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于5且小于5的有理数”故能构成集合2由大于3且小于11的偶数所组成的集合是()Ax|3x11，xZBx|3x11Cx|3x11，x2kDx|3x11，x2k，kZ解析：选D.偶数集为x|x2k，kZ，则大于3且小于11的偶数所组成的集合为x|3x11，x2k，kZ3已知集合A是由0，m，m23m
11、2三个元素构成的集合，且2A，则实数m_解析：由题意知m2或m23m22，解得m2或m0或m3，经验证，当m0或m2时，不满足集合中元素的互异性，当m3时，满足题意，故m3.答案：34已知集合x|x22xa0，则实数a的取值范围是_解析：44a1.答案：a1学生用书P77(单独成册)A基础达标1下列各组对象中能构成集合的是()A2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B某学校高一年级高个子的学生C.的近似值D2018年全国经济百强县解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D中对象可构成集合2给出下列关系：(1)R；(2)Q；(3)3Z；(4)N，其中正确的个数为()A1B2C3 D4解析
12、：选B.是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；3是整数，(3)错误；是无理数，(4)正确故选B.3若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A矩形 B平行四边形C菱形 D梯形解析：选D.因为a，b，c，d为集合A中的四个元素，故a，b，c，d均不相同，故选D.4设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A3 B4C5 D6解析：选B.因为集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，所以M中的元素有：5，6，7，8，共4个故选B.5已知M(x，y)|2x3y10，x，yN，N(x，y)|4x3y1，x，yR
13、，则()AM是有限集，N是有限集BM是有限集，N是无限集CM是无限集，N是无限集DM是无限集，N是有限集解析：选B.因为M(x，y)|2x3y10，x，yN(2，2)，(5，0)，所以M为有限集N(x，y)|4x3y1，x，yR中有无限多个点满足4x3y1，故N为无限集6若集合1，a，b与1，b，1是同一个集合，则a与b分别为_解析：由题意得或解得或当a1，b1时，集合中有重复元素应舍去故a1，b0.答案：1，07下列说法中集合N与集合N*是同一个集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有_解析：因为集合N*表示正整数
14、集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以中的说法不正确，中的说法正确答案：8若a，bR，且a0，b0，则的可能取值所组成的集合中元素的个数为_解析：当a0且b0时，2；当ab0时，0；当a0且b0时，2.所以集合中的元素为2，0，2.即元素的个数为3.答案：39判断下列对象能否构成一个集合如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg的同学；(3)方程xy3的非负整数解；(4)与非常接近的有理数解：(1)能x|x1.(2)若A是单元素集，则当a0时，此时Ax|2x10，xR；当a0时，有即a1，此时Ax|
15、x22x10，xR1所以综合得a0或a1.(3)若A中至多只有一个元素，则A为空集或单元素集，所以a0或a1.4(选做题)设S是由满足下列条件中的实数所构成的集合：1S；若aS，则S.请回答下列问题：(1)若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若aS，则1S；(3)在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由解：(1)因为2S，21，所以1S.因为1S，11，所以S.因为S，1，所以2S.所以集合S中有另外两个数为1和.(2)证明：因为aS，所以S，所以S，即1S(a0)若a0，则1S，不合题意所以若aS，则1S.(3)集合S中的元素不能只有一个证明如下：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a，即a2a10.因为140，所以此方程无实数解，所以a.所以集合S中不能只有一个元素
