1、2008届高三数学培优讲义（一）2007年8月8日函数的性质与图像【考试要求】函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位. 其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.1、深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质.2、理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.3、理解掌握幂函数、指数函数和对数函数的性质、图象及运算性质.4、灵活运用函数概念、性质和不
2、等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题5、应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题【例题精选】例1已知g(x)=x2-3，f(x)是二次函数，当x-1，2时，f(x) 的最小值为1，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax2+bx+c（a0），则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3，由已知f(x)+g(x)为奇函数， ， f(x)=x2+bx+3下面通过确定f(x)在-1，2上何时取最小值来确定b，分类讨论 ，对称轴（1） 当2，b-4时，f(x)在-1，2上为减函数， ， 2b+7
3、=1， b=3（舍）；（2） 当（-1，2），-4b2时， ， （舍负）；（3） 当-1，b2时，f(x)在-1，2上为增函数， (f(x)min=f(1)=4-b， 4-b=1， b=3 ，或评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值拓展：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 解 由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为 f(x)=2x21 或f(
4、x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1例2某公司为了帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（不计息）已知：该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系用图中的一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元(1)如果当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)如果该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费
5、品价定为多少元？解：（1）设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)100600m13200又由图可得=S=由已知，当p=52时，S=0，即（252+140）(5240)100600m13200=0，解得m=50，即此时刻店有50名职工；（2）由题意知S=当40p58时，求得p=55时，S取得最大值7 800（元）；当581,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)证明 当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM ；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值； (3)求证 对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1解：(1)证明
6、先将f(x)变形 f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 设u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小.而u=(x2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明 当mM时，m+=(m1)+ +13,当且仅当m=2时等号成立 log3(m+)log33=1例4设是定义在上偶函数，与图像关于直线对称，当时
7、，（为常数）（1）求表达式；（2）当，求在上取最大值时，对应的值； （3）当时，是否存在，使图像最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由略解：（1）（2）当时，取最大值；（3）当时，取最大值存在，使图像最高点在直线上点评：以多项式函数为载体研究函数的图象与性质，有利于考查学生对函数概念本质的理解与掌握，也是在知识交汇点上考查学生的能力解决此类问题必须抓住概念进行思考，同时注重知识的综合应用例已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)
8、上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要），当x2时，不等式不成立，x
9、2。令g(m)，m，3问题转化为g(m)在m，3上恒大于0，则：；解得：x2或x1。评析：首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键（2）设方程上有实根，求的取值范围分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程为aob坐标平面上的一条直线l：，P（a，b）为直线上的点，则即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：， 因为，令，则。 且
10、易知函数在上为增函数。 所以。即例已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角 求证 m5；(2)对任意实数,恒有f(2+cos)0，证明m3；(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m（1）证明 f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0 依题意 又A、B锐角为三角形内两内角A+Btan(A+B)0，即m5(2)证明 f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(
11、3)解 f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,当sin=1时，f(sin)有最大值8 即1+(m+1)+m=8，m=3评析：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围充分利用一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式等知识例9已知函数y=f(x)满足f(x)=(1)分别写出x,)时y=f(x)的解析式f1(x)和x1,2)时y=f(x)的解析式f2(x)；并猜想xn,n+1,n-1,nZ时y=f(x)的解析式f n+1(x)（用x和n表示）（不必证明）；（2）当x=n+ (n-1,nZ)时，y=f n+1(x)（xn,n+1），n-1,nZ)
12、的图象上有点列A n+1（x,f(x)）和点列B n+1(n+1,f(n+1),线段A n+1B n+2与线段B n+1A n+2的交点C n+1,求点C n+1的坐标（a n+1(x),b n+1(x)）；(3)在前面（1）（2）的基础上，请你提出一个点列C n+1(a n+1(x),b n+1(x)的问题，并进行研究，并写下你研究的过程.解：（1）x0,1)时，x-1-1,0),f1(x)=f(x-1)+1=sin(x-1)+1=1-sinx.x1,2)时，x-10,1),f2(x)=f(x-1)+1=1-sin(x-1)+1=2+sinx.xn,n+1),n-1,nZ时，f n+1(x)
13、=f(x-1)+1=f(x-2)+2=n+1+(-1) n+1sinx.(2)当x=n+,A n+1(n+,n),B n+1(n+1,n+2),=1, =4,=4.C n+1是平行四边形A n+1A n+2B n+2B n+1的对角线的交点，C n+1(n+,n+).(3)第一类，例如：在（2）的条件下，点C n+1与C n+2之间具有怎样的数量关系.解答：C n+1C n+2=2第二类，例如：在（2）的条件下，在C n+1与C n+2之间具有怎样的位置关系解答：C n+1与C n+2在直线y=x+上.第三类，例如：把（2）的条件x=n+改成xn,n+1)时，点C n+1an+1(x),bn+
14、1(x)的运动曲线是什么？解答：即yc=只需写出一个区间段上即可.例10已知函数f(x)的定义域为0，1，且同时满足：f(1)=3;f(x)2恒成立；若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)2.（1）试求函数f(x)的最大值和最小值；（2）试比较f()与+2的大小(n)；（3）某人发现：当x= (n)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有f(x)2x+2,请你判断此猜想是否正确，并说明理由.解： (1)设0x1x21,则必存在实数t(0,1),使得x2=x1+t,由条件得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2,f(x2)-
15、f(x1)f(t)-2,由条件得：f(x2)-f(x1)0,故当0x1时,有f(0)f(x)f(1).又在条件中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2,故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.(2)在条件中,令x1=x2=,得f()2f()-2,即f()-2f()-2,故当n时， f()-2f()-2f()-2f()-2= ,即f()+2.又f()=f(1)=32+,所以对一切n，都有f()+2.(3)对一切x(0,1),都有f(x)2x+2.对任意满足x(0,1)，总存在n(n),使得2+2=+2,故有f(x)2x+2.综上所述，对任意x(0,1),f(x)2x+2恒成立.
