1、专题5 数列、推理与证明第23练 常考的递推公式问题的破解方略利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_.解析 由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.体验高考 12343n1解析答案 12342.
2、(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案 1n解析 12343.(2015江苏)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an前 10 项的和为_.2011答案 解析 12344.(2016课标全国丙)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；解析答案 返回 解析答案 1234(2)若 S53132，求.由 S53132，得 1153132，即15 132.解得1.解 由(1)得 Sn11n.高考必会题型 题型一 利用累加法解决递推问题 例 1(1)在数列an中，a11，anan11
3、nn1，则 an 等于()A.21nB.11nC.1nD.2 1n1解析 (2)在数列an中，已知a12，an1ancn(nN*，常数c0)，且a1，a2，a3成等比数列.求c的值；解 由题意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3成等比数列，(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.解析答案 以上各式相加，得 ana112(n1)cn(n1)2c.解析答案 点评 求数列an的通项公式.解 当n2时，由an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，又a12，c2，故ann2n2(n2)，当n1时，上式也成立，数列an的通项公式为ann2n2(nN*)
4、.变式训练 1 在数列an中，a11，an1anln(11n)，则 an等于()解析 A.1nln nB.1nln nC.1(n1)ln nD.1ln n 解析 a11，an1anln(11n)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 ln(1 1n1)ln(1 1n2)ln(11)1ln(nn1n1n22)11ln n.题型二 利用累乘法解决递推问题 例 2(1)已知正项数列an满足 a11，(n2)a2n1(n1)a2nanan10，则它的通项公式为()A.an 1n1B.an 2n1C.ann12D.ann 解析(2)已知数列an中，a11，anan1ann(nN*)，则 a
5、2 016_.2 016 解析 由anan1ann(nN*)，得an1an n1n，解析答案 a2a121，a3a232，a4a343，anan1 nn1，各式相乘得ana1n，ann(n1适合)，a2 0162 016.点评 变式训练 2 数列an的前 n 项和 Snn2an(n2)，且 a11，a22，则an的通项公式 an_.1，n1，2n1，n2解析 答案 例 3(1)数列an中，a112，an1nann1nan2(nN*)，则数列an的通项公式 an_.答案 1n32n11解析 题型三 构造法求通项公式(2)已知 a11，an1 anan1，则 an_.解析 由 an1 anan1，
6、得 1an1 1an1(常数)，解析答案 又 1a11，1an为以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1ann，从而 an1n，即所求通项公式为 an1n.点评 1n变式训练 3 已知数列an中，a12，当 n2 时，an7an133an11，求数列an的通项公式.返回 解析答案 1.数列an满足 a11，a223，且 1an1 1an12an(n2)，则 an等于()A.1n1B.(23)n1C.(23)nD.2n1 高考题型精练 12345解析 678910 11 12 解析 2.已知数列an中，a11，且 1an1 1an3(nN*)，则 a10 等于()A.28 B.33 C.133D
7、.128 解析 由已知 1an1 1an3(nN*)，所以数列 1an是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，即 1an1(n1)33n2，解得 an13n2，a10 128，故选 D.12345678910 11 12解析 12345678910 11 123.已知数列an中，a112，an1an1n23n2(nN*)，则数列an的通项为()A.an 1n1B.an nn1C.an12n1n2n2D.ann1n2 4.已知 f(x)log2x1x1，anf(1n)f(2n)f(n1n)，n 为正整数，则a2 016 等于()解析 12345678910 11 12A.2 015B.2 009
8、C.1 005D.1 006 解析 12345678910 11 12A.nn122n11B.nn122n1C.nn122n11D.nn122n115.已知数列an满足a11，an1ann2n(nN*)，则an为()6.已知数列an满足a11，anan12n(n2)，则a7等于()A.53B.54C.55D.109 12345678910 11 12解析 7.数列an中，a11，an23n1an1(n2)，则an_.3n2 12345678910 11 12所以 ana12313n11313n33n2(n2)，解析 因为an23n1an1(n2)，所以anan123n1(n2)，由叠加原理知a
9、na12(332333n1)(n2)，因为a11也符合上式，故an3n2.解析答案 12345678910 11 12解析 设an3(an1)，化简得an3an12，an3an12，1，an13(an11).a11，a112，数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列，an123n1，an23n11.解析答案 8.若数列an满足an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式an_.23n1112345678910 11 12解析 答案 9.若数列an满足a11，且an14an2n，则通项an_.22n12n110.设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1a
10、n0(nN*)，则它的通项公式 an_.1n解析 对原关系式进行等价变形可得(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)(n1)an1nan(an1an)0，因为an是正项数列，所以(n1)an1nan0，从而n1an1nan1，即数列nan是首项为1，公比为1的等比数列，所以 nan1，即 an1n.解析答案 12345678910 11 1212345678910 11 1211.数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；解析答案 证明 由an22an1an2，得bn1bnan22an1an2an1an22an1an2，又b1a2a11
11、，bn是首项为1，公差为2的等差数列.12345678910 11 12(2)求an的通项公式.解析答案 解 由(1)得bn2n1，于是an1an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a1 13(2n3)1(n1)21，而a11也符合，an的通项公式an(n1)21.12345678910 11 12解析答案 12.已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且Sn12Snn1(nN*).(1)证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；12345678910 11 12返回 解析答案(2)求数列nann的前n项和Tn.解 令cnnann，则cnn2n，于是Tn121222n2n，2Tn122(n1)2nn2n1，两式相减得，Tn2222nn2n1 22n121 n2n1(1n)2n12，所以Tn(n1)2n12.本课结束 更多精彩内容请登录：
