1、甘肃省民乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次诊断考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 函数的定义域为，函数的值域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析:由题意知,故选D.考点:函数的定义域；集合的运算.2. 已知点，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）A. （.，）B. （，）C. （，）D. （，）【答案】A【解析】【分析】求出向量，再利用相反向量以及单位向量的求法即可求解.【详解】由，所以，所以向量的方向相反的单位向量为.故答案为：A3. 如果恒成立，则实数的取值范围是（）A. 1k0B. 1k0C. 1k0
2、D. 1k0【答案】C【解析】【详解】当时，成立，当时，解得，综合得10，则x3.函数y(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数yu在(0，)上是减函数，y(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)6. 函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】,由题意得，,故选:D.7. 当时，函数取得最小值，则函数是()A. 奇函数且图象关于点对称B. 偶函数且图象关于点对称C. 奇函数且图象关于直线对称D.
3、偶函数且图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】由题意可得，解得，从而可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】由时函数取得最小值，可得：，解得：，函数是奇函数且图象关于直线对称，故选C【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于基础题8. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示以及二倍角的正切公式即可求解.【详解】向量，且，则，所以，即，.故选：D9. 定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】【分析】利用定义，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而，利用，可得结论【详解】，是以1为首项，2为公差的等差数列， 故选：C.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项10. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】当时,；当时,.综上,实数的范围为.故选B.考点：对数的性质；分类讨论思想.【易错点睛】本题主要
5、考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小（2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数（3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.11. 在中，的对边分别为，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为由三角形的正弦定理得即所以由故答案选考点：正弦定理；数量积；三角形面积12. 已知函数，实数.满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）A. B. C. D.
6、【答案】D【解析】【分析】由已知得函数在定义域上是减函数，继而得，可分两种情况：一种情况是，都为负值，另一种情况是，在同一坐标系内画函数与的图象，运用数形结合的思想可得选项.【详解】在定义域上是减函数，时，又，一种情况是，都为负值，另一种情况是，在同一坐标系内画函数与的图象，对于要求.都大于，对于要求.都小于时，大于.两种情况综合可得不可能成立，故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点问题，将零点问题常常转化为方程的根，继而转化为两函数的交点，运用数形结合的思想，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在复平面内，复数与的对应点关于虚轴对称，则_【答案】【解析】试题
7、分析：，复数与的对应点关于虚轴对称，所以考点：复数的运算14. 若向量是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为_【答案】【解析】【详解】向量在向量方向上的投影为考点：向量的投影15. 已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则_【答案】-1【解析】【分析】由奇函数和对称性推出函数周期为8，则，再结合即可求解【详解】奇函数 的定义域为，若为偶函数，且，则，则，则函数的周期是8，且函数关于对称，则，则故答案为：-1【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的奇偶性，对称性和周期性求解函数值，解题的关键是利用奇、偶性求出函数的周期为8以及关于对称，考查了分析能力、计算能力.16. 若函数，则不等式
8、的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.【详解】由题意得： 为上的奇函数,，且不恒等于零在上单调递增等价于，解得：故答案为：【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.三、解答题（共70分）17. 设数列的前项和为，点均在函数的图象上（）求数列的通项公式；（）若为等比数列，且，求数列的前n项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（
9、）依题意得，即讨论当，当时，；验证当适合，得出结论.（） 由已知可得，利用“分组求和法”即得所求.【详解】（）依题意得，即当当时，；当所以（）得到，又， ，18. 如图，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点PQ，已知点P的标为（1）求的值;（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角的正弦值与余弦值，利用二倍角的正弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代入求解即可；（2）以向量的数量积为为条件，可得 ，从而可得，进而得，利用两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）由三角函数定义得
10、， 原式 = （2）， ， ， .19. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若的内角，的对边分别为，且满足，求的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简 得，由正弦定理得，再根据余弦定理得，代人值.试题解析：（1） ，.（2）由题意可得 有， ，化简可得：，由正弦定理可得：，余弦定理可得： ，所以.20. 设函数，其中为自然对数的底数.（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由
11、题意可得在上恒成立；即在上恒成立，令，利用导数求出其最小值即可；（2）设切点为，则，由题意得，得，令，利用导数求出其单调区间和最值即可【详解】（1）函数定义域为，在上是增函数在上恒成立；即在上恒成立设，则由得在上为增函数；即.（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以.因为方程仅有一解，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得，得到，然后构造函数，利用导数求得，从而得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题21. 已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程在区间内无零点，求实数的取值范围【答案】（1）单调增区间是
12、，单调减区间是；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可判断单调区间；（2）可转化为在无零点，可得，讨论的范围结合的单调性和零点存在性定理求解.【详解】（1）依题意，令，解得，故函数的单调增区间是，由，得，单调减区间是（2）原方程可化为，即令，则是增函数，时， ()当时，恒成立在上是增函数，故原方程在内无零点()当时，由得，时，当时，故在区间上单调递减，在区间上单调递增又，在区间上恒小于0，下面讨论正负；令，则，令是的导函数，则，在上增函数即，又由零点存在性定理知，原方程在上有零点即在上有零点综上所述，所求实数的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的零点问
13、题，解题的关键是将题转化为在无零点，可以通过导数研究的单调性，注意讨论参数的范围结合零点存在性定理进行判断.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根
14、据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由得：，又整理可得直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23. 已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）设表示、二者中较小的一个，若函数，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出对任意的恒成立，利用绝对值三角不等式求出的最大值，进而可得出关于的不等式，解出即可；（2）将函数的解析式表示为分段函数的形式，结合题意作出函数的图象，进而可得出函数的值域.【详解】（1）由，得，关于的不等式的解集为，对任意恒成立.，解得或，因此，实数的取值范围是；（2），设，在同一平面直角坐标系作出函数和的图象， 函数，函数的图象是上图中的实线部分，且，则当时，函数取最小值；当或时，函数取最大值.因此，函数的值域为.【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，同时也考查了函数值域的求解，涉及绝对值三角不等式以及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
