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甘肃省民乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次诊断考试试题 文(含解析).doc

1、甘肃省民乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次诊断考试试题 文(含解析)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1. 函数的定义域为,函数的值域为,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析:由题意知,故选D.考点:函数的定义域;集合的运算.2. 已知点,则与向量的方向相反的单位向量是( )A. (.,)B. (,)C. (,)D. (,)【答案】A【解析】【分析】求出向量,再利用相反向量以及单位向量的求法即可求解.【详解】由,所以,所以向量的方向相反的单位向量为.故答案为:A3. 如果恒成立,则实数的取值范围是()A. 1k0B. 1k0C. 1k0

2、D. 1k0【答案】C【解析】【详解】当时,成立,当时,解得,综合得10,则x3.函数y(x24x3)的定义域为(,1)(3,)又ux24x3的图象的对称轴为x2,且开口向上,ux24x3在(,1)上是减函数,在(3,)上是增函数而函数yu在(0,)上是减函数,y(x24x3)的单调递减区间为(3,),单调递增区间为(,1)6. 函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】,由题意得,,故选:D.7. 当时,函数取得最小值,则函数是()A. 奇函数且图象关于点对称B. 偶函数且图象关于点对称C. 奇函数且图象关于直线对称D.

3、偶函数且图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】由题意可得,解得,从而可求,利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】由时函数取得最小值,可得:,解得:,函数是奇函数且图象关于直线对称,故选C【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,考查了数形结合能力,熟练掌握三角函数的性质是解题的关键,属于基础题8. 已知向量,且,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示以及二倍角的正切公式即可求解.【详解】向量,且,则,所以,即,.故选:D9. 定义:在数列中,若满足(,为常数),称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中,则( )A. B. C. D. 【答案】C

4、【解析】【分析】利用定义,可得是以1为首项,2为公差的等差数列,从而,利用,可得结论【详解】,是以1为首项,2为公差的等差数列, 故选:C.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项10. 设函数,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】当时,;当时,.综上,实数的范围为.故选B.考点:对数的性质;分类讨论思想.【易错点睛】本题主要

5、考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法:(1)若底数相同,真数不同,则可构造相关的对数函数,利用其单调性比较大小(2)若真数相同,底数不同,则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数(3)若底数、真数均不同,则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.11. 在中,的对边分别为,且,则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为由三角形的正弦定理得即所以由故答案选考点:正弦定理;数量积;三角形面积12. 已知函数,实数.满足,其中,若实数为方程的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( )A. B. C. D.

6、【答案】D【解析】【分析】由已知得函数在定义域上是减函数,继而得,可分两种情况:一种情况是,都为负值,另一种情况是,在同一坐标系内画函数与的图象,运用数形结合的思想可得选项.【详解】在定义域上是减函数,时,又,一种情况是,都为负值,另一种情况是,在同一坐标系内画函数与的图象,对于要求.都大于,对于要求.都小于时,大于.两种情况综合可得不可能成立,故选:D. 【点睛】本题考查函数的零点问题,将零点问题常常转化为方程的根,继而转化为两函数的交点,运用数形结合的思想,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 在复平面内,复数与的对应点关于虚轴对称,则_【答案】【解析】试题

7、分析:,复数与的对应点关于虚轴对称,所以考点:复数的运算14. 若向量是两个互相垂直的单位向量,则向量在向量方向上的投影为_【答案】【解析】【详解】向量在向量方向上的投影为考点:向量的投影15. 已知奇函数的定义域为,若为偶函数,且,则_【答案】-1【解析】【分析】由奇函数和对称性推出函数周期为8,则,再结合即可求解【详解】奇函数 的定义域为,若为偶函数,且,则,则,则函数的周期是8,且函数关于对称,则,则故答案为:-1【点睛】关键点点睛:本题考查由函数的奇偶性,对称性和周期性求解函数值,解题的关键是利用奇、偶性求出函数的周期为8以及关于对称,考查了分析能力、计算能力.16. 若函数,则不等式

8、的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数;利用导数可得到的单调性;将不等式转化为,利用单调性可得自变量的大小关系,解不等式可求得结果.【详解】由题意得: 为上的奇函数,,且不恒等于零在上单调递增等价于,解得:故答案为:【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题,关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性,从而将不等式转化为函数值的比较,利用单调性进一步得到自变量的大小关系.三、解答题(共70分)17. 设数列的前项和为,点均在函数的图象上()求数列的通项公式;()若为等比数列,且,求数列的前n项和【答案】();().【解析】【分析】(

9、)依题意得,即讨论当,当时,;验证当适合,得出结论.() 由已知可得,利用“分组求和法”即得所求.【详解】()依题意得,即当当时,;当所以()得到,又, ,18. 如图,以Ox为始边作角与),它们的终边分别与单位圆相交于点PQ,已知点P的标为(1)求的值;(2)若,求的值【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据终边上点的坐标,利用三角函数定义得到角的正弦值与余弦值,利用二倍角的正弦公式、二倍角法余弦公式,切化弦,把要求的式子化简,约分整理,将所求三角函数值代入求解即可;(2)以向量的数量积为为条件,可得 ,从而可得,进而得,利用两角和的正弦公式可得结果.【详解】(1)由三角函数定义得

10、, 原式 = (2), , , .19. 已知函数.(1)当时,求的值域;(2)若的内角,的对边分别为,且满足,求的值.【答案】(1);(2)1.【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求值域,(2)先根据两角和正弦公式展开化简 得,由正弦定理得,再根据余弦定理得,代人值.试题解析:(1) ,.(2)由题意可得 有, ,化简可得:,由正弦定理可得:,余弦定理可得: ,所以.20. 设函数,其中为自然对数的底数.(1)若在定义域上是增函数,求的取值范围;(2)若直线是函数的切线,求实数的值;【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由

11、题意可得在上恒成立;即在上恒成立,令,利用导数求出其最小值即可;(2)设切点为,则,由题意得,得,令,利用导数求出其单调区间和最值即可【详解】(1)函数定义域为,在上是增函数在上恒成立;即在上恒成立设,则由得在上为增函数;即.(2)设切点为,则,因为,所以,得,所以设,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以.因为方程仅有一解,所以.【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,解题的关键是由题意得,得到,然后构造函数,利用导数求得,从而得,考查数学转化思想和计算能力,属于中档题21. 已知函数,(1)求函数的单调区间;(2)若关于的方程在区间内无零点,求实数的取值范围【答案】(1)单调增区间是

12、,单调减区间是;(2)【解析】【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的正负即可判断单调区间;(2)可转化为在无零点,可得,讨论的范围结合的单调性和零点存在性定理求解.【详解】(1)依题意,令,解得,故函数的单调增区间是,由,得,单调减区间是(2)原方程可化为,即令,则是增函数,时, ()当时,恒成立在上是增函数,故原方程在内无零点()当时,由得,时,当时,故在区间上单调递减,在区间上单调递增又,在区间上恒小于0,下面讨论正负;令,则,令是的导函数,则,在上增函数即,又由零点存在性定理知,原方程在上有零点即在上有零点综上所述,所求实数的取值范围是【点睛】关键点睛:本题考查利用导数讨论函数的零点问

13、题,解题的关键是将题转化为在无零点,可以通过导数研究的单调性,注意讨论参数的范围结合零点存在性定理进行判断.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用代入消元法,可求得的直角坐标方程;根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程;(2)利用参数方程表示出上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根

14、据三角函数的范围可求得最值.【详解】(1)由得:,又整理可得直角坐标方程为:又,的直角坐标方程为:(2)设上点的坐标为:则上的点到直线的距离当时,取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.23. 已知函数.(1)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;(2)设表示、二者中较小的一个,若函数,求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由题意得出对任意的恒成立,利用绝对值三角不等式求出的最大值,进而可得出关于的不等式,解出即可;(2)将函数的解析式表示为分段函数的形式,结合题意作出函数的图象,进而可得出函数的值域.【详解】(1)由,得,关于的不等式的解集为,对任意恒成立.,解得或,因此,实数的取值范围是;(2),设,在同一平面直角坐标系作出函数和的图象, 函数,函数的图象是上图中的实线部分,且,则当时,函数取最小值;当或时,函数取最大值.因此,函数的值域为.【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数,同时也考查了函数值域的求解,涉及绝对值三角不等式以及数形结合思想的应用,考查计算能力,属于中等题.

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