1、2021届高考理科数学押题卷（三）一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，集合，则等于（ ）ABCD2欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，（为自然对数的底数，为虚数单位）被称为“数学中的天桥”，将复数、指数函数、三角函数联系起来了当时，可得恒等式（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD4已知数列为等比数列，其前项和为，若，则（ ）A或32B或64C2或D2或5已知如下六个函数：，从中选出两个函数记为和，若的图像如
2、图所示，则（ ）ABCD6七巧板是一种古老的中国传统智力玩具清代陆以湉在冷庐杂识中写道：“近有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻盖游戏之具，足以排闷破寂故世俗皆喜为之七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个七巧板拼成的正方形，是中点，若正方形中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）ABCD7已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD8若数列满足，则称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当时，前项之和等于第项减去第2项：随着的增大，
3、相邻两项之比越来越接近等等若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（ ）（备注：，）A31万B51万C217万D317万9我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（ ）ABCD10设，为椭圆与双曲线的公共焦点，分别为左、右焦点，与在第一象限的交点为若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范
4、围是（ ）ABCD11正方体的棱长为2，的中点分别是，直线与正方体的外接球相交于，两点，点是球上的动点，则面积的最大值为（ ）ABCD12，已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，在展开式中的偶数次幂项的系数之和为8，则_14已知曲线的切线为，则一组满足条件的，的取值为_15伟大出自平凡，英雄来自人民在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则_ 16已知双曲线的左、右焦
5、点分别为，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列的前项和满足，且是，的等差中项，是等差数列，（1）求数列，的通项公式；（2），求数列的前项和18（12分）如图（1），平面四边形中，将沿边折起如图（2），使_，点，分别为，中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题为四面体外接球的直径平面平面（1）判断直线与平面的位置关系并说明理由；（2）求二面角的正弦值19（12分）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是
6、相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布任意正态分布都可变换为标准正态分布（且的正态分布），如果随机变量，那么令，则可以证明当时，对于任意实数，记已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字（位于第三行），然后在表的最上行找到数字（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字便是的值（）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（）若要使在晚自习
7、时间阅览室座位够用的概率高于，则至少需要添加多少个座位？20（12分）已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点，分别是线段，上的点，且，（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围21（12分）已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数（1）求函数的最大值；（2）证明：选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建
8、立极坐标系（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线/的斜率23选修4-5：不等式选讲（10分）已知实数，满足（1）若，求证：；（2）设，求证：甘肃省民乐县第一中学2021届高考理科数学押题卷（三）答案一、单项选择题123456789101112DCBBDCBCACCB1D【解析】集合，故选D2C【解析】根据欧拉公式，将可得，所以故选C3B【解析】模拟执行程序框图，可得第次运行，；第2次运行，；第3次运行，；第4次运行，；第2021次运行，刚好满足条件，则退出循环，输出的值为故选D4B【解析】数列为等比数列，解得，设数列的公比为，解得或，则，则故选B5D【解析
9、】由图象可知，函数过定点，当时，为增函数，当时，或交替出现，因为的图象经过点，且当时，当时，若为，当时，不满足过点，所以只有当才满足条件，故选D6C【详解】如图，设，则，所以正方形的面积为，平行四边形的面积为，所以阴影部分的面积为，所以此点落在阴影部分的概率为故选C7B【解析】设正方体的边长为，则，故， ，又，为线段的中点，设，则平面，故为直线与平面所成角，故选B8C【解析】当时，则，因为随着的增大，相邻两项之比接近，则，由万故选C9A【解析】如图所示，建立直角坐标系不妨设，则，解得设，则，设，则，故选A10C【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，离心率为，等腰三角形，又在双曲线中，设双曲线的右顶
10、点为，点横坐标为，由得，又，得，故选C11C【解析】如图，设正方体外接球球的半径为，过球心作，垂足为，易知为的中点因为正方体的棱长为2，所以，所以，所以因为点是球上的动点，所以点到的最大距离为，故面积的最大值为故选C12B【解析】，即，构造函数，显然在上单调递增，设，令得，且当时，单调递减；当时，单调递增，故实数的取值范围为故选B二、填空题13【解析】设，令，则，令，+得，即，解得14，（满足）【解析】由曲线的切线为，设切点为，由，可得，可得，将代入可得，又在切线为上，故；取一组，故答案为，l5【解析】设事件为“抽到的2名队长性别相同”，事件为“抽到的2名队长都是男生”，由已知得，则故答案为：
11、16【解析】设与的内切圆圆心分别为，连接，的内切圆与三边分别切于点，如图，则，所以，即同理，所以设直线的倾斜角为，则，在中，在中，由题得，所以，解得，所以故答案为：三、解答题17详解：（1）由题意知，当时，又因为，且，则，所以，又，成等差数列，则，所以，解得，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故设的公差为，则，解得，所以（2）由（1）得，所以，两式相减得，整理得 18答案：【解析】（1）若选：，在中，可得，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面若选：为四面体外接球的直径，则，可得，又由，且，平面，所以平面，因为，
12、分别为，中点，可得，所以平面若选：平面平面，平面平面，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且，平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面（2）以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故二面角的正弦值19答案：【解析】（1）由题意可得，随机变量服从二项分布，则，（2）（）由于（1）中二项分布的值增大，故可以认为随机变量服从二项分布，由（1）可得，可得，则，则，由标准正态分布性质可得，故，故，在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为（）查表可得，则，即，又，故座位数至少要1016个，故阅览室座位至少
13、需要添加22个20【详解】（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以，为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为 （2）由得，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为21详解：（1）因为，所以，解得，则，所以，令，得；令，得所以当时，（2）由（1）得的最大值为0，所以，即，从而，要证，即，故只需证，即证成立令，则，令，则，令，得，因为单调递增，所以当时，单调递减，即单调递减当时，单调递增，即单调递增，因为，由零点存在定理可知，使得，故当或时，单调递增；当时，单调递减，所以的最小值是或由，得，因为，所以，故当时，所以原不等式成立22答案：【解析】（1）由得，即，把代入，得曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（2）将直线，代入曲线的方程得由，解得设，由韦达定理得，解得，满足，或，直线的斜率为23答案：【解析】（1）时，因为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立 （2）假设，则由，知，故又由，得，但由知矛盾，故不成立，所以
