1、模块综合测评(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=,a=2,b=1,则c等于() A.B.C.D.1答案:B2.下列结论正确的是()A.若acbc,则abB.若a8b8,则abC.若ab,c0,则acb答案:C3.等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是()A.130B.65C.70D.75解析:a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.所以S13=13a7
2、=130.答案:A4.已知ABC中,sin Asin Bsin C=324,那么cos B的值为()A.B.-C.-D.答案:A5.已知等比数列an中,a4=7,a6=21,则a8等于()A.35B.63C.21D.21答案:B6.已知ABC中,a=4,b=4,A=30,则角B的度数等于()A.30B.30或150C.60D.60或120答案:D7.若集合A=x|2x-1|3,B=,则AB是()A.B.x|2x1,则a+的最小值是()A.2B.aC.D.3答案:D10.设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()A.B.C.D.答案:B11.在R上
3、定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围为()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)答案:B12.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(xN)为二次函数关系,如右图.当每辆客车营运的年平均利润最大时,营运年数为()A.3B.4C.5D.6答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=3n,则a2 013=.解析:a2 013=S2 013-S2 012=32 013-32 012=3
4、.答案:314.已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么|PO|的最小值等于,最大值等于.答案:15.已知不等式x2+ax+40的解集为,则a的取值范围是.解析:由题意得=a2-160,解得-4a4.答案:-4,416.已知数列an满足a1=t,an+1-an+2=0(tN*,nN*).记数列an的前n项和的最大值为f(t),则f(t)=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式;(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+
5、(n-1)d及a3=5,a10=-9,得解得所以数列an的通项公式为an=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.18.(12分)假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房中,中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么到哪一年底,该市历年所建中、低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将开始不少于4 750万平方米?解:设中、低价房的面积形成数列an,由题意知,an是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+50
6、=25n2+225n.令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数,则n10.所以到2020年年底该市历年所建中、低价房的累计面积将开始不少于4 750万平方米.19.(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10海里,求B船的速度.解:如图所示,在ABC中,AB=10,AC=10,ABC=120.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcos 120,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶
7、时间为(小时),路程为BC=20海里,则有v=15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.20.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为,所以(2c-b)cos A=acos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B.所以2sin Ccos A=sin (A+B)=sin C.在ABC中,0C,所以sin C0.所以cos A=,又0A1时,=a1+=1-=1-.Sn=.当n=1时,S
8、1=1也符合该公式.综上可知,数列的前n项和Sn=.22.(14分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集.其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解:设片集甲播放x集,片集乙播放y集,则有要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.由得M(2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.
