1、2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用第八节 函数的图象【高考新动向】一、考纲点击1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.二、热点提示1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点.2.利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点)、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点.3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目.【考纲全景透析】1.六类基本初等函数的
2、图象2.函数图象间的变换(1)平移变换：(2)对称变换：=-f(x);=f(-x);=-f(-x);y=ax(a0且a1) =logax(a0且a1)(3)翻折变换：=|f(x)|y=f(|x|)(4)伸缩变换：y=f(ax)y=af(x)【热点难点全析】一、作函数的图象1、相关链接(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能
3、直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围.第二步：化简函数表达式.第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等).第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点).第五步：描点、连线.注：当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.2、例题解析【例1】作出下列函数的图象(1)y=elnx;(2)y=|log2(x+1
4、)|;(3)y=a|x|(0a0且y=elnx=x(x0)，其图象如图(1).(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).(3)方法一：所以只需作出函数y=ax(0a1)中x0的图象和中x0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3).方法二：作出y=ax(0a0，得单调增区间为(-,-1)和(3, +).令y0,得单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为和-9，由此可得其图象大致如图(5).注：要准确作出函数的大致图象，需做到：(1)熟练掌握六类基本初等函
5、数的图象；(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.二、识图与辨图1、相关链接知图选式的方法(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性.利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.知式选图的方法：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数
6、的极值点判断函数图象的拐点.利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.注：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口2、例题解析【例1】(1)(2012南阳模拟)函数y=x+cosx的大致图象是( )(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )【方法诠释】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.解析：(1)选. 由y=
7、x+cosx,得y=1-sinx,令y=0,得sinx=1，即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从而排除选项，又x=0时，y=1,即图象应过(0，1)点，再排除，比较、与y轴交点纵坐标与的大小知应选.(2)选.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和作出其图象知在(-2，0)上均为减函数.又y=x3+1,x0，故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选.注：识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.三、函数图象
8、的应用1、相关链接（1）利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.（2）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.2、例题解析【例】已知函数
9、f(x)=x|m-x|(xR)，且f(4)=0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求集合M=m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根.【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.【规范解答】(1)f(4)=0，4|m-4|=0，即m=4；(2)f(x)=x|m-x|函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点.(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2，4；(4
10、)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为：x|0x4.(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0m4,集合M=m|0m0且a1),在同一坐标系中画出其中两个函数在x0且y0的范围内的大致图象，其中正确的是( )2.(2012浏阳模拟)为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x的图象上所有的点( )()向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度()向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度()向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度()向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度3.（2012厦门模拟）函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是（ ）
11、4.f(x)= 的图象和g(x)=log2x的图象的交点个数是( )()4 ()3 ()2 ()15.（预测题）已知a0且a1，若函数f(x)=loga(x+ )在(-,+)上既是奇函数，又是增函数，则函数g(x)=loga|x-k|的图象是( )6. （2012莆田模拟）现有四个函数：y=xsinx;y=xcosx;y=x|cosx|;y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）()()()()二、填空题(每小题6分，共18分)7.如图，定义在-1，+)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_.8.(2012临沂模拟
12、)若函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x)，且x-1,1)时，f(x)=|x|，则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为_.9.已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点对称；h(x)为偶函数；h(x)的最小值为0；h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_.(将你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(每小题15分，共30分)10.作出下列函数的大致图象(1)y=x2-2|x|;(2)y= 3(x+2);(3)y=.11(易错题)(
13、1)已知函数y=f(x)的定义域为R，且当xR时，f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称；(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.【探究创新】(16分)已知函数y=f(x)同时满足以下五个条件：(1)f(x+1)的定义域是-3，1；(2)f(x)是奇函数；(3)在-2，0)上，f(x)0;(4)f(-1)=0;(5)f(x)既有最大值又有最小值.请画出函数y=f(x)的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式.答案解析1.【解析】选.结合图象逐个验证知，正确.2.【解析】选.把y=2x的图象向右平移3个单位长度得到y=
14、2x-3的图象，再向下平移1个单位长度得到y=2x-3-1的图象，故选.3.【解析】选.f(x)=ln|x-1|=,图象关于x=1对称.4.【解析】选.在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象如图所示，由图象知有两个交点，故选.【误区警示】本题易由于作图没有去掉(1，0)点，而误选.5.【解题指南】由已知先求出k的值，并判断出a与1的大小关系，再由g(x)选图象.【解析】选.由已知f(0)=0,得loga=0，k=1,f(x)=loga(x+ ),又其为增函数，a1.故g(x)=loga|x-1|的图象可由y=loga|x|的图象向右平移一个单位得到，且在(-,1)上为减函数，在(1,+)上
15、为增函数，故选.6.【解析】选.y=xsinx是偶函数；y=xcosx是奇函数；y=x|cosx|是奇函数且当x0时，f(x)0恒成立；y=x2x是非奇非偶函数.7.【解析】当x-1,0时，设y=kx+b,由图象得得，y=x+1,当x0时，设y=a(x-2)2-1,由图象得：0=a(4-2)2-1得a= ,y= (x-2)2-1,综上可知答案：8.【解析】函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)，该函数的周期为2，又x-1,1)时，f(x)=|x|，可得到该函数的图象，在同一直角坐标系中，画出两函数的图象如图，可得交点有6个.答案:69.【解题指南】先求g(x),再求h(x)并化简，最后判断
16、.【解析】g(x)= x,h(x)= (1-|x|),h(x)= 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为.答案：10.【解析】(1)y= 的图象如图(1).(2)y= 3+ (x+2)=-1+ (x+2)，其图象如图(2).(3)y=，其图象如图(3).11【解析】(1)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=f(x0).又P点关于x=m的对称点为P,则P的坐标为(2m-x0,y0).由已知f(m+x)=f(m-x),得f(2m-x0)=f(m+(m-x0)=f(m-(m-x0)=f(x0)=y0.即P(2m-x0,y0)在y=f(x)的图象上.y=f(x)的图象关于直
17、线x=m对称.(2)由题意知对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.又a0,2a-1=0,得 a=.【方法技巧】函数对称问题解题技巧(1)证明函数图象的对称性，只需证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上即可.(2)若f(a+x)=f(a-x),xR恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若f(a+x)=-f(a-x),xR恒成立，则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.【探究创新】【解析】由(1)知，-3x1,-2x+12,故f(x)的定义域是-2，2.由(3)知，f(x)在-2，0)上是增函数.综合(2)和(4)知，f(x)在(0，2上也是增函数，且f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.故函数y=f(x)的一个图象如图所示，与之相应的函数解析式是高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
