1、银川唐徕回民中学2020届高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】解出集合和中的不等式即可得到答案.【详解】因为，所以因为所以，所以故选：B【点睛】本题考查的是分式不等式、一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题.2.若复数表示的点在虚轴上,则实数的值是( )A. -1B. 4C. -1和4D. -1和6【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出【详解】因为复数表示在复平面上对应的点在虚轴上，所以，解得或，当时，不符合题意，（舍）当时，符合题意.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数与复平面内
2、点的对应关系，熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键，属于基础题.3.下列说法正确的个数为()若，则； ，则；若，则； 若，则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由不等式的基本性质判断,利用特殊值法判断即可【详解】,根据不等式的性质,可得,故正确；当,时,满足,且设,满足,此时,故不正确；当时,满足,且设,满足,此时,故不正确；,对两边同时除以得；又,故正确；综上,正确的为,共2个故选B【点睛】本题考查利用不等式的性质判别不等式,特殊值法判断不等关系,属于基础题4.圆截直线所得的弦长为，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化为标准
3、方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.【详解】圆,即则由垂径定理可得点到直线距离为 根据点到直线距离公式可知,化简可得 解得故选:A【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.5.已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中正确命题的个数为（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】分别写出三个命题，依次判断真假即可.【详解】若lm，m，则l，该命题为假命题，因为lm，m，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平
4、面垂直的判定定理，所以是假命题；若lm，l，则m，该命题为真命题，因为lm，l，则平面内必存在一直线与外直线m平行，所以m，命题为真命题；若m，l，则lm，该命题为真命题，因为m，所以内必有一直线n与直线m平行，l可得ln，所以lm，命题为真.综上可知正确命题的个数为2，故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线线，线面的平行、垂直关系，属于中档题.6.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5；第二网捞出25条，称得平均每条鱼3；第三网捞出35条，称得平均每条鱼2，则估计鱼塘中鱼的总质量为（ ）A. B.
5、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题目中的数据算出平均每条鱼的质量，然后可算出答案.【详解】平均每条鱼的质量为所以估计鱼塘中鱼的总质量约为故选：A【点睛】本题考查的是平均数的算法，考查了学生的计算能力，较简单.7.已知ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,在中,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的
6、三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.8.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入，化简后求得取值范围.【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设 ，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.9.如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
7、】在中，令，得，故；又函数的最小正周期为，所以选A10.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得，得到函数在点处的切线的斜率为，得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。【详解】由题意，函数，则，则在点处的切线的斜率为，即，可得，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，又由当时，排除C项，只有选项A项符合题意。故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
8、础题。11.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可知，从而求得；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点到平面的最大距离，在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】， 如下图所示：若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：即：设球的半径为，则在中：，解得：球的表面积：故选【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关
9、于半径的方程求得外接球半径.12.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题13.已知双曲线的焦距为，则的离心率为_.【答案】【解析】【分
10、析】由焦距求出，从而求得，再由离心率定义求解【详解】由已知，又，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题时直接求出后可得离心率，属于基础题14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值，然后通过以及计算出的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为，所以，所以【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有、以及，考查计算能力，是中档题15.无字证明就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_.【答案】，【解析】【分析】令，然后分别在四个直角
11、三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据和可得结果.【详解】令，则所以所以在直角三角形中，所以故答案为：，【点睛】本题考查的是两角和的正余弦公式，考查了数形结合的思想，较简单.16.阅读下列材料，回答所提问题：设函数，的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；是偶函数；在上不是单调函数；恰有个零点，写出符合上述条件的一个函数的解析式是_；写出符合上述所有条件的一个函数的解析式是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，单调性、零点和函数的图像可写出相应的函数解析式，得出答案.【详解】由题意得：符合上述条件的一个函数的解析式可以是，因为的定义域为，其图像是一条连续不断
12、的抛物线，所以函数满足；因为，所以函数是偶函数；因为当时，所以函数恰有两个零点：，所以函数满足条件；符合上述条件的一个函数的解析式可以是，理由如下：作出函数的图象如下图所示，则函数的图像是一条连续不断的曲线，函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，又在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上不是单调函数，且当时，所以函数恰有两个零点：.所以函数满足条件.故答案为：；.【点睛】本题是开放性试题，答案不唯一，重点考查函数的图像、奇偶性、单调性、零点的综合运用，属于中档题.三、解答题17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）在；中选一个条件使数列是等
13、比数列，并说明理由，然后求出数列的前项和.【答案】（1），（2）若选，；若选，.【解析】【分析】（1）由是与的等比中项可得，解出即可；（2）从或中选一个，首先计算出，然后可得数列是等比数列，然后求出即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，是与的等比中项所以，即，解得或（舍）所以（2）若选，则，所以，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列.所以若选，则因为，所以所以即数列是首项为，公比为的等比数列故【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况.18.在正方体中，已知分别的中点，（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）见
14、解析（3）.【解析】【分析】（1）连接，推导出，由此能证明；（2）设正方体中棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，在正方体中，在平面中，因分别为的中点，所以，故.（2）证明：设正方体中棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则， 因，所以，即，即，而，所以，平面.（3）由（2）可得，则，设平面的法向量，则，即，取，解得，所以，平面的法向量，同理可得，取平面的法向量，设二面角的平面角为，由图知为钝角，所以，.故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线
15、平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，属于基础题19.已知直线与抛物线交于两点，点为线段的中点；（1）若直线经过抛物线的焦点，且，求点的横坐标；（2）若，设直线的方程为，求点的横坐标的最小值，并求此时直线的方程.【答案】（1）2；（2）或【解析】【分析】（1）设，由焦半径公式得焦点弦长表达式，从而由已知得的具体数值，即得中点横坐标（2）设，直线方程与抛物线方程联立消元后可得，由弦长公式得可得的关系式，求出中点横坐标然后应用基本不等式可得最小值【详解】（1）设，抛物线的焦点为，则，所以中点的横坐标为（2）设，由得，所以，即，设，
16、则，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为直线方程为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出（或），代入弦长公式推导出结论，另外抛物线的弦长中要注意过焦点的弦长，抛物线的弦若过焦点，则20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择
17、哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k15.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：0.0500.0250.0100.0053.84150246.6357.879【答案】（1）见解析；（2）见
18、解析【解析】【分析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）E（Y），再求出两家公司的月薪的方差，D（X）D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k15.55135.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的22列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大【详解】（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）60000.4+70000.3+80000.2+90000.17000，E（Y）50000.
19、4+70000.3+90000.2+110000.17000，D（X）（60007000）20.4+（70007000）20.3+（80007000）20.2+（90007000）20.110002，D（Y）（50007000）20.4+（70007000）20.3+（90007000）20.2+（110007000）20.120002，则E（X）E（Y），D（X）D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k15.55135.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分
20、布可得选择意愿与性别两个分类变量的22列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K26.734，且K26.7346.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大【点睛】本题考查了期望与方差的求法及应用，考查了独立性检验，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于中档题21.已知函数，（1）当时，求证：函数存在唯一极值点；（2）当，求证：函数在上有唯一零点.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）当时，用导数可
21、得在上单调递增，然后根据零点存在定理可得存在使得，然后得出的单调性即可.（2）利用导数可判断出的单调性，结合即可证明结论.【详解】（1）当时，所以，因为，所以在上单调递增因为，所以存在使得当时，单调递减当时，单调递增所以是函数的极小值点，即函数存在唯一极值点（2）由已知可得则因为，所以，所以当时，则当时，则所以在上单调递减，在上单调递增因为所以函数在上有唯一零点【点睛】判断函数零点个数的关键是通过判断函数的单调性，得到函数的最值，根据最值和函数的单调性，利用函数图象可判断出函数零点的个数.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建
22、立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将参数方程化为普通方程，再根据极坐标和直角坐标互化的原则可求得极坐标方程；（2）设，则，从而当时，取得最大值.【详解】（1）将曲线参数方程化为普通方程为：即：根据，可得：曲线的极坐标方程为：（2）设，则当时，【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属于常规题型.23.已知定义在上的函数.（1）若的最大值为3，求实数的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）-1或3（2）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式得,于是令可得答案；（2）先计算，再分和两种情况可得到答案.【详解】（1）由绝对值不等式得令，得或解得或解得不存在，故实数的值为-1或3（2）由于，则，当时，由得，当时，由得，此种情况不存在，综上可得：的取值范围为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，对学生的分类讨论的能力要求较高，难度较大.
