1、2019-2020学年湖北省荆州中学高二下学期期末质量检查模拟试题（数学）一、单选题1已知为虚数单位，则复数的虚部为( )AB1CD2从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A36种 B30种 C42种 D60种3已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为，每一道中等题做对的概率为，每一道难题有三个选项，其中正确答案有且只有一项，贾天才面对难题时，他极有自知之明，答案完全凭感觉随机蒙一个。在贾天才参加的某次考试中，简单题有8道题，做对一题得5分，做错或不做得0分；中等题有有6道题，做对一题得10分，做错或不做得0分；难题有3道题，做对一题得15分，做错或不做得0
2、分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期望为（ ）A70分B145分C95分D85分 4已知圆上存在不同两点关于直线对称，则实数( )ABCD5.已知椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的离心率是0和1的等差中项，则椭圆的长轴长为( )ABCD6为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.5m8.59.3根据表中数据可得回归直线方程，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为15万元，则m的值为( )A8.0B8.5C9.6D8.87已知抛物线上一点到该抛物线焦点距离为，
3、为已知抛物线上任意一点，则的取值范围为 ( )ABCD8若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为( )ABCD9已知是单位向量，点的坐标为 ,则点的坐标为 ( )A或B或C或D选项A、B、C都不对10如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，事件A：甲的平均成绩超过乙的平均成绩；事件B：乙在4次考试中成绩的中位数不高于90分，则的值为 ( )ABCD 11已知是函数的一个极值点，直线与函数的图象恰有两个不同交点，则实数的取值范围是( )A B C D12已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则实数n的取值范围是()A(1,
4、3) B(1，) C D二、填空题13. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为_.14的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，则该展开式的常数项是_（用数字作答）15已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率_16在三棱锥中，若，则该三棱锥外接球的体积为_三、解答题17. (本小题满分10分)已知数列的前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和。18(本小题满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球
5、运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣(1)完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)现从该校一年级全体学生中，随机抽取了12名学生，发现12名学生中对冰球有兴趣的学生频率恰好等于之前抽取的100名学生中对冰球有兴趣的学生频率，再从被抽取的12名学生中随机抽取3名学生，求抽取的3名学生中至少含有一名对冰球没兴趣的学生的概率。附表：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.
6、635，19(本小题满分12分)如图，在多面体中，四边形为菱形，且平面平面(1)求证：；(2)若求二面角的余弦值20(本小题满分12分)已知函数(1)当时，判断在定义域上的单调性；(2)若在上的最小值为，求实数的值.21 (本小题满分12分)已知曲线 与x轴交于两点，且点在点左侧，点P为x轴上方的一个动点，是线段的中点，直线 (为坐标原点)的斜率与直线的斜率之积为4.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线与分别交于点 (均异于点)，在三角形中，为锐角，求直线的斜率的取值范围22(本小题满分12分)已知函数(1)当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求的取值范围2019
7、-2020学年湖北省荆州中学高二下学期期末质量检查模拟试题（数学）参考答案一、单选题题号010203040506070809101112答案BADCDBCAADCD二、填空题13、 14、 15、 16、三、解答题17.解： 首项未考虑的学生，扣除2分，全对得5分，只有首项正确，给1分 第二问只要错位相减法基本过程到位，结果不正确这一问给3分，完全正确（包括化简非最简形式）这一问给5分18解(1)根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到K23.030.K23.0302.706，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性
8、别有关”.5分(2)由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是 7分故抽取的12名学生中对冰球有兴趣的学生人数为，没有兴趣的人数3人所以概率为 算式正确，结果不对扣2分19解(1)证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知ACBD，1分平面BED平面ABCD，且交线为BD，AC平面BED，ACED，又AFDE，AFAC，3分AFAD，ACADA，AF平面ABCD，CD平面ABCD，AFCD. 4分(2)设ACBDO，过点O作DE的平行线OG，由(1)可知OA，OB，OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 6分设AFADED2a(a0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0
9、)，F(a,0,2a)，E(0，a,4a)，所以(a，a,0)，(0,0,2a)，(0，2a，4a)，(a，a,2a)， 8分设平面ABF的法向量为m(x，y，z)，则即取y，则m(1，0)为平面ABF的一个法向量，同理可得n(0,2,1)为平面FBE的一个法向量. 10分则cosm，n，又二面角AFBE的平面角为钝角，则其余弦值为. 12分20. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,)，且 f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f (x)，若a1，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf
10、(1)a，a (舍去).若ae，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去).若ea1，令f (x)0，得xa.当1xa时，f (x)0，f(x)在(1,a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知：a.21解：(1)易知A(1,0)，B(1,0)，设P(x，y)(y0)，因为DOPA，所以kDOkPBkPAkPB，则kAPkBP4，整理，得x21(y0)，所以动点P的轨迹C2的方程为x21(y0). 5分(没有y的范围扣1分)(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为x2
11、1(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C2的方程整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点M的坐标为(xM，yM)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根，由求根公式得xM，从而yM，点M的坐标为， 7分同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)， 8分，(k，k22k)由题意可知0，即k4(k2)0，k4(k2)， 10分因为y(2x)|x12，即直线l与抛物线在B处相切时，切线的斜率为2.而直线l与两曲线有交点，必须k2.所以直线l的斜率的取值范围为k0时无零点， 2分当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g(1)1，所以
12、g(x0)g(1)0，此时函数g(x)恰有一个零点， 4分当a0时，令g(x)0，解得x，当0x 时，g(x)时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增要使函数g(x)恰有一个零点，则galn 0即a2e，综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a2e或a0. 6分(2)令h(x)f(x)(1m)x2mx2(2m1)xln x，根据题意，当x(1，)时，h(x)0恒成立，又h(x)2mx(2m1)， 7分若0m0恒成立，所以h(x)在上是增函数，且h(x)，所以不符合题意. 8分若m，则x(1，)时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(1，)上是增函数，且h(x)(h(1)，)，所以不符合题意. 9分若m0，则x(1，)时，恒有h(x)0，故h(x)在(1，)上是减函数，于是“h(x)0对任意x(1，)都成立”的充要条件是h(1)0，即m(2m1)0，解得m1，故1m0. 11分综上，m的取值范围是1,0. 12分
