1、限时规范训练1(2016西安模拟)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解析：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率
2、为k，直线PA的方程为：yk(x2)，联立，化为(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.2(2016广州五校联考)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c2
3、4，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.3.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点(1)
4、求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1k2k1k2，证明：直线BC恒过定点解析：(1)设抛物线E的标准方程为x2ay，a0，将A(2,1)代入得，a4.所以抛物线E的标准方程为x24y，准线方程为y1.(2)证明：由题意得，直线AB的方程为yk1x12k1，直线AC的方程为yk2x12k2，联立，消去y得x24k1x4(12k1)0，解得x2或x4k12，因此点B(4k12，(2k11)2)，同理可得C(4k22，(2k21)2)于是直线BC的斜率kk1k21，又k1k2k1k2，所以直线BC的方程为y(2k21)2(k1k21)x(4k22)，即y(k1k21)x2k1k21(k1k2
5、1)(x2)3.故直线BC恒过定点(2，3)4.(2016金华模拟)已知抛物线y22px(p0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值；(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且5(其中O为坐标原点)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值解析：(1)由已知得34p2，所以抛物线方程为y24x，代入可解得t2.(2)证明：设直线AB的方程为xmyt，A，B，联立得y24my4t0，则y1y24m，y1y24t.由5得y1y25y1y220或y1y24(舍去)，即4t20t5，所以直线AB过定点P(5,0)；由得|AB|y2y1|，同理得|CD| |y2y1| ，则四边形ACBD面积S|AB|CD| 8.令m2(2)，则S8是关于的增函数，故Smin96，当且仅当m1时取到最小值96.
