1、2016-2017学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1过两点M（1，2），N（3，4）的直线的斜率为2若数列an满足an2an+1+an+2=0（nN*），且a1=2，a2=4，则数列an的通项公式为an=3在ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则cosC=4已知三个数12，x，3成等比数列，则实数x=5不等式x2+3x40的解集是6过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是7在等比数列an中，已知a2a5=32，a3+a4=4，且公比为整数，则a9=8直线ax2y+2=0与直线x+（a3）y
2、+1=0平行，则实数a的值为9如果关于x的不等式mx2mx10的解集为，则实数m的取值范围是10ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则角B=11给出下列四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0其中能推出成立的是12已知函数f（x）=x|x2|，则不等式的解集为13如图，在AOB中，AOB=，OA=6，M为边AB上一点，M到边OA，OB的距离分别为2，2，则AB的长为14已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，总有=，则=二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理
3、、验算过程.15设集合A为函数y=lg的定义域，集合B为不等式（ax1）（x+2）0（a0）的解集（1）若a=1，求AB；（2）若BRA，求实数a的取值范围16（1）已知直线l的方程为axy+2+a=0（aR），求证：不论a为何实数，直线l恒过一定点P；（2）过（1）中的点P作一条直线m，使它被直线l1：4x+y+3=0和l2：3x5y5=0截得的线段被点P平分，求直线m的方程17在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若c=，a=2，求C，b；（2）若a=btanA，且B为钝角，证明：BA=，并求sinA+sinC的取值范围18如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，A
4、C=3千米，BC=4千米现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时乙到达B地后原地等待设t=t1时乙到达C地（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当t1t1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在t1，1上的最大值是否超过3？说明理由19已知数列an的前n项和为Tn，且Tn=an+，设，数列cn满足cn=anbn（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn；（3）若cn+m+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围20已知
5、数列an的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，a1=1，a2=2（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意nN*，有anan+1恒成立，求证：数列an是等差数列；（3）若d1=3d2（d10），且存在正整数m、n（mn），使得am=an求当d1最大时，数列an的通项公式2016-2017学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1过两点M（1，2），N（3，4）的直线的斜率为1【考点】I3：直线的斜率【分析】直接利用直线的斜
6、率公式可得【解答】解：过M（1，2），N（3，4）两点直线的斜率为： =1故答案是：12若数列an满足an2an+1+an+2=0（nN*），且a1=2，a2=4，则数列an的通项公式为an=2n【考点】8H：数列递推式【分析】由题意可知an+an+2=2an+1，则数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求得an【解答】解：由an2an+1+an+2=0，则an+an+2=2an+1，数列an为等差数列，a2a1=42=2，数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，an=a1+（n1）d=2n，故答案为：2n3在ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7
7、，则cosC=【考点】HR：余弦定理【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：5：7，由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，a=，c=，由余弦定理可得cosC=故答案为：4已知三个数12，x，3成等比数列，则实数x=6【考点】88：等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的性质求解【解答】解：三个数12，x，3成等比数列，x2=123，解得x=6，故答案为：65不等式x2+3x40的解集是（4，1）【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】根据一元二次不等式的解法步骤求解即可【解答】解：不等式x2+3x4
8、0化为（x+4）（x1）0，解得4x1，不等式的解集是（4，1）故答案为：（4，1）6过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是【考点】ID：直线的两点式方程【分析】由两点式写出直线方程，取y=0求得直线在x轴上的截距【解答】解：由直线方程的两点式，得过两点（1，1）和（3，9）的直线方程为：整理得：2xy+3=0取y=0，得x=过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是故答案为：7在等比数列an中，已知a2a5=32，a3+a4=4，且公比为整数，则a9=256【考点】88：等比数列的通项公式【分析】根据等比数列的性质可得a3a4=32，求出q，即可求出a9【解答】解：a2a
9、5=32，a3+a4=4，a3a4=32，解得a3=4，a4=8或a3=8，a4=4，q=2，或q=（舍去），a9=426=256，故答案为：256；8直线ax2y+2=0与直线x+（a3）y+1=0平行，则实数a的值为1【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值【解答】解：直线ax2y+2=0与直线x+（a3）y+1=0平行，解得 a=1故答案为 19如果关于x的不等式mx2mx10的解集为，则实数m的取值范围是4m0【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】二次项系数含有字母m，讨论m=0和m0两种情况
10、，当m=0时对于任意实数x不等式不成立，当m0时，借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与x轴有无交点列式求解【解答】解：当m=0时，原不等式化为10，其解集是空集；当m0时，要使关于x的不等式mx2mx10的解集为，则，解得4m0；综上，实数m的取值范围是4m0故答案为：4m010ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则角B=【考点】HR：余弦定理【分析】由已知及等差数列，等比数列的性质可得2b=a+c，sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，整理解得a=c，从而可求a=b=c，进而可求B的值【解答
11、】解：a，b，c成等差数列，且sinA，sinB，sinC成等比数列，2b=a+c，sin2B=sinAsinC，即b2=ac，（a+c）2=4ac，整理可得：（ac）2=0，解得a=c，b2=ac=a2=c2，可得：a=b=c，B=故答案为：11给出下列四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0其中能推出成立的是【考点】71：不等关系与不等式【分析】由不等式的基本性质可直接判断出；的两边都乘以ab 即可判断出答案【解答】解：若b0a，则，故正确；若0ab，则ab0，即故正确；若a0b，则，故不能推出，因此不正确；若ab0，则，即，故正确因此其中能推出成立的是故答案为12已知函数f（x）=x|x
12、2|，则不等式的解集为1，+）【考点】3O：函数的图象【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可【解答】解：当x2时，f（x）=x|x2|=x（x2）=x2+2x=（x1）2+11，当x2时，f（x）=x|x2|=x（x2）=x22x=（x1）21，此时函数单调递增由f（x）=（x1）21=1，解得x=1+由图象可以要使不等式成立，则，即x1，不等式的解集为1，+）故答案为：1，+）13如图，在AOB中，AOB=，OA=6，M为边AB上一点，M到边OA，OB的距离分别为2，2，则AB的长为6【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形的实际应用【分析】利用面积法求出O
13、B=6，再根据余弦定理即可求出【解答】解：如图所示，由题意可得MC=2，MD=2，且MCOB，MDOA，SAOB=SMOB=SAOM，OAOBsinAOB=OBMC+OAMD，即6OB=2OB+62，解得OB=6，由余弦定理可得AB2=OB2+OA22OBOAcosAOB=72+36266（）=180，AB=6，故答案为：614已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，总有=，则=9【考点】8E：数列的求和【分析】设an，bn的公比分别为q，q，利用=，求出q=9，q=3，可得=3，即可求得结论【解答】解：设an，bn的公比分别为q，q，=，n=1时，a1=b1
14、n=2时，n=3时，2q5q=3，7q2+7qq2q+6=0，解得：q=9，q=3，故答案为：9二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15设集合A为函数y=lg的定义域，集合B为不等式（ax1）（x+2）0（a0）的解集（1）若a=1，求AB；（2）若BRA，求实数a的取值范围【考点】4N：对数函数的图象与性质；18：集合的包含关系判断及应用【分析】（1）分别求出A、B，再计算交集；（2）求出B和RA，比较两集合端点值的大小即可得出a的范围【解答】解：（1）由函数y=lg有意义得0，即（1+x）（2x）0，解得1x2，即A=x|1x2解不等式（x1）（
15、x+2）0得x2或x1，即B=x|x2或x1AB=x|1x2（2）由（1）知RA=x|x1或x2，解不等式（ax1）（x+2）0得x2或x，即B=x|x2或x，BRA，2，解得0a16（1）已知直线l的方程为axy+2+a=0（aR），求证：不论a为何实数，直线l恒过一定点P；（2）过（1）中的点P作一条直线m，使它被直线l1：4x+y+3=0和l2：3x5y5=0截得的线段被点P平分，求直线m的方程【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】（1）把已知方程变形为a（x+1）y+2=0，联立求得x，y值，得点的坐标，代入方程验证成立即可；（2）设直线m与已知直线l1，l2分别交于A、B两点，由点
16、A在直线l1：4x+y+3=0上设出A的坐标（t，4t3），再由中点坐标公式得B的坐标，把B的坐标代入直线l2：3x5y5=0求得t值，进一步得到A，B的坐标，由直线方程的两点式求得直线m的方程【解答】（1）证明：由axy+2+a=0，得a（x+1）y+2=0，联立，解得x=1，y=2把点（1，2）代入axy+2+a=0，有a2+2+a=0直线axy+2+a=0恒过一定点P（1，2）；（2）解：设直线m与已知直线l1，l2分别交于A、B两点点A在直线l1：4x+y+3=0上，故可设A（t，4t3），又P（1，2）是AB的中点，由中点坐标公式得B（t2，4t+7）B点在直线l2：3x5y5=0上
17、，3（t2）5（4t+7）5=0，解得t=2A（2，5），B（0，1），由两点式得直线方程为：3x+y+1=017在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若c=，a=2，求C，b；（2）若a=btanA，且B为钝角，证明：BA=，并求sinA+sinC的取值范围【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）由正弦定理即可求出C的大小，再根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出b（2）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出BA的值，求出C和A的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用换元法和二次函数的性质求出式子的范围【解答】解：（1）由正弦定理可得=，
18、c=，a=2，sinC=，C=60或120，由正弦定理可得b=当C=60，sinB=sin（A+C）=sin45cos60+cos45sin60=，b=1+，当C=120，sinB=sin（A+C）=sin45cos120+cos45sin120=，b=1，（2）由题意得a=btanA，由正弦定理得sinA=sinB，则sinB=cosA，B为钝角，B=+A，BA=；C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知，2（sinA）2+，sinA
19、+sinC的取值范围为（，18如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时乙到达B地后原地等待设t=t1时乙到达C地（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当t1t1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在t1，1上的最大值是否超过3？说明理由【考点】HS：余弦定理的应用【分析】（1）由题意可得t1=h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1t时，由
20、已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当t1时，f（t）=PB=55t，综合可得当t1时，f（t）0，可得结论【解答】解：（1）由题意可得t1=h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5=千米，f（t1）=PC=千米；（2）当t1t时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，QB=AC+CB8t=78t，PB=ABAP=55t，f（t）=PQ=，当t1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，f（t）=PB=ABAP=55tf（t）=当t1时，f（t）0，故f（t）的最大值没有超过3千米19已知数列an的前n项和为Tn，且Tn=an+，设，数列cn满足cn=anbn（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列c
21、n的前n项和Sn；（3）若cn+m+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）由Tn=an+，可得n=1时，a1=a1+，解得a1n2时，an=TnTn1，化为：an=，利用等比数列的通项公式即可得出，所以bn+2=3，可得bn（2）由（1）知，cn=anbn=（3n+1）利用错位相减法即可得出（3）利用数列的单调性、不等式的解法即可得出【解答】解：（1）由Tn=an+，n=1时，a1=a1+，解得a1=n2时，an=TnTn1=an+，化为：an=，数列an是公比为的等比数列，则an=（nN），所以bn+2=3=3n+3，即bn=3n+
22、1（2）由（1）知，cn=anbn=（3n+1）Sn=4+7+10+（3n2）+（3n+1），则=4+7+10+（3n2）+（3n+1），两式相减得Sn=4+3+（3n+1）=+3（3n+1）所以Sn=（3n+7）（3）cn=（3n+1），cn+1cn=（3n+4）（3n+1）=0，则数列cn单调递减，当n=1时，cn取最大值是1，又cn+m+1对一切正整数n恒成立，m2+4m0，解得：m0或m420已知数列an的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，a1=1，a2=2（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意
23、nN*，有anan+1恒成立，求证：数列an是等差数列；（3）若d1=3d2（d10），且存在正整数m、n（mn），使得am=an求当d1最大时，数列an的通项公式【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定【分析】（1）确定数列的前5项，利用S5=16，a4=a5，建立方程，求出d1=2，d2=3，从而可求a10；（2）先证明d1=d2，再利用S15=15a8，求得d1=d2=2，从而可证数列an是等差数列；（3）若d1=3d2（d10），且存在正整数m、n（mn），使得am=an，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数，利用am=an，及d1=3d2，可得，从而可求
24、当d1最大时，数列an的通项公式【解答】（1）解：根据题意，有a1=1，a2=2，a3=a1+d1=1+d1，a4=a2+d2=2+d2，a5=a3+d1=1+2d1S5=16，a4=a5，a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16，2+d2=1+2d1d1=2，d2=3a10=2+4d2=14（2）证明：当n为偶数时，anan+1恒成立，2+，（d2d1）+1d20d2d10且d21当n为奇数时，anan+1恒成立，（1n）（d1d2）+20d1d20d1=d2S15=15a8，8+14+=30+45d2d1=d2=2an=n数列an是等差数列；（3）解：若d1=3d2（d10），且存在正整数m、n（mn），使得am=an，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数am=an，d1=3d2，m为奇数，n为偶数，3mn1的最小正值为2，此时d1=3，d2=1数列an的通项公式为an=2017年6月4日
