1、第2讲两直线的位置关系基础知识整合1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0
2、)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.1三种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxByC00(CC0)；(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAyC00；(3)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，这个直线系不包括直线l2：A2xB2yC20，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)2四种常见的对称(1)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(2)点(x，y)关
3、于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)(4)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)3点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等1(2019广东惠阳模拟)点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为()A2BCD答案C解析点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为d.故选C2过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y1
4、0Bx2y10C2xy20Dx2y10答案A解析因为所求直线与直线x2y20平行，所以设直线方程为x2yc0，又直线经过点(1,0)，得出c1，故所求直线方程为x2y10.3设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，解得a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件4若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A12B2C0D10答案A解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20上，
5、得104p20.解得p2.又因为垂足(1，2)在直线2x5yn0上，解得n12.5(2019重庆模拟)光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为()A5B2C5D10答案C解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2，10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB|5.故选C6(2019云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为的直线l与直线m：x2y30垂直，则cos2_.答案解析直线m：x2y30的斜率是，lm，直线l的斜率是2，故tan2，sin，cos，cos22cos21221.核心考向突破考向一平行与垂直问题例1(1)已知经过点A(2,0)和
6、点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_答案1或0解析l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，得P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.(2)已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10.若l1l2，则_.答案k，kZ解析解法一：当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2；当sin0时，k1，k22sin.要使l1l2，需2sin，即sin
7、.所以k，kZ，此时两直线的斜率相等，且两直线不重合综上，k，kZ时，l1l2.解法二：由A1B2A2B10，得12sin20，所以sin.又B1C2B2C10，所以sin10，即sin1.所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C1
8、0，l1l2A1A2B1B20.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的情况，也要考虑到斜率不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件即时训练1.“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，m3是l1l2的充分不必要条件2(2019宁夏模拟)若直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则实数m的值为_.答案0或
9、解析因为直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则斜率相等或者斜率不存在，或者m0，所以m或0.考向二距离公式的应用例2(1)(2019四川绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()ABCD答案C解析因为，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)已知点M(a，b)在直线3x4y15上，则 的最小值为_答案3解析M(a，b)在直线3x4y15上，3a4b15，而的几何意义是a，b坐标平面内原点到直线3a4b15上任意一点的距离，所以()min3.1点到直线的距离可直接
10、利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式2两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式即时训练3.点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)答案C解析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故点P的坐标为(1,2)或(2，1)4已知直线
11、经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，5)的距离相等，则此直线的方程为_答案4xy20或x1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，由题设有，即|k1|7k|，解得k4.此时直线方程为4xy20.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x1，满足题设条件故所求直线的方程为4xy20或x1.精准设计考向，多角度探究突破考向三对称问题角度1点关于点的对称例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2
12、的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.角度2点关于直线的对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.角度3直线关于直线的对称例5光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解由得反射点M的坐标为(1,2)又取直线x2y50上一点P(5,0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由P
13、Pl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.解决对称问题的方法(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma,2nb)；(2)点关于线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为1时，可类比关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(
14、31,11)，即(2,2)即时训练5.已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程解(1)设A(x，y)，由已知条件得解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(1，2)的对称点P，
15、Q均在直线l上，易得P(3，5)，Q(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3y90.解法二：ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得，解得C9，l的方程为2x3y90.解法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.1已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)，若直线l上存在点P使得|PA|PB|最小，则点P的坐标为()A(2，3)B(2,3)C(2,3)D(2,2)答案B解析根据题意画出大致图象，如图设点A关于直
16、线x2y80的对称点为A1(m，n)则有解得故A1(2,8)此时直线A1B的方程为x2.所以当点P是直线A1B与直线x2y80的交点时，|PA|PB|最小，将x2代入x2y80，得y3，故点P的坐标为(2,3)2在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2B1CD答案D解析以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(
17、m，0)，因为直线BC的方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在的直线上，所以kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去所以APm.答题启示1光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称2充分利用数形结合、转化等思想，借助直线与直角三角形的相关知识，将动点转化到定点上去，将最值转化为定值问题对点训练1(2019淮安调研)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射
18、光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.2在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B，AB的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|PB|PA|PB|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故P1即为所求又直线AC的方程为19x17y930.联立解得P1.所以满足条件的P点坐标为.
