1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大 版 选修1-1 第四章 导数应用成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 导数应用 第四章 第四章 导数应用成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2 导数在实际问题中的应用2.2 最大值、最小值问题第2课时 生活中的优化问题举例第四章 第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课前自主预习第四章 2 2.2 第2课时成才之
2、路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等最优化问题.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.生活中,我们经常遇到面积、体积最大,周长最小,利润最大,用料最省,费用最低,效率最高等等一系列问题,这些问题通常通称为_2在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中_的取值范围3实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值就是_优化问题优化问题自变量最值第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选
3、修1-1 4解决优化问题的基本思路:第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 根据课程标准的规定,有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0,且该函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,就可以知道这就是最大(小)值.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.在周长为l的矩形中,面积的最大值为_答案 l216解析 设一边长为 x,则另一边长为12(l2x),其面积 S12x(l2x)(0 xl2),由 S12l2x0 得
4、xl4,此时 S l216.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2(2014西安一中期中)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为_cm3.答案 144第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 设小正方形边长为 x,则盒子的容积为 vx(102x)(162x),即 v4(x313x240 x),(0 x0),则底面积 S 34 x2,hVS 4V3x2.S 表x 4V3x23 34 x224 3Vx 32 x2,S表 3x4
5、 3Vx2,令 S表0 得 x3 4V,因为 S 表只有一个极值,故 x3 4V为最小值点.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 利润最大问题某集团为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销经调查,每年投入广告费 t(百万元)可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改造经预测,每投入技术改造费 x(百万元),可增加的销售额约为13x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方
6、案,使该公司由此获得的收益最大?(注:收益销售额投入)第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3),当 t2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元即投入 2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3x)(百万元),又设由此获得的收益是 g(x),则有 g(x)(13x3x23x)(3x)25(3x)313x34x3(0 x3),第四章 2 2.2 第2
7、课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 g(x)x24.令 g(x)0 解得 x2(舍去)或 x2,当 0 x0,当 2x3 时,g(x)0,故 g(x)在0,2上是增函数,在2,3上是减函数所以为 x2 时,g(x)取最大值,即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大方法规律总结 利润最大、效率最高等实际问题,关键是弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求解第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为p 16x,0c,(
8、c 为常数,且 0c6)已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,每出现 1 件次品亏损 1.5 元(1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数;(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率 次品数产品总数100%)第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 分析(1)p为x的分段函数,故y为x的分段函数,由生产一件合格品盈利3元,生产一件次品亏损1.5元及次品率p,可得日盈利额y关于日产量x的函数,其关系为日盈利额合格产品盈利额次品亏损额(2)利用导数求最值时,应注意c的范围答案(1)y39x2x226x,0c,(c 为常数
9、,且0c6)(2)0c3 时,日产量 c 万件;3cc 时,p23,y(123)x323x320;当 0 xc 时,p 16x,y(1 16x)x3 16xx3239x2x226x.日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为y39x2x226x,0c,(c 为常数,且 0cc 时,日盈利额为 0.当 0 xc 时,y39x2x226x,y3294x6x9x2x26x23x3x96x2,令 y0,得 x3 或 x9(舍去),第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 当 0c0,y 在区间(0,c上单调递增,y 最大值f(c)39c2c226
10、c.当 3c0,在(3,c)上,y0,y 在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减y 最大值f(3)92.综上,若 0c3,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大;若 3c6,则当日产量为 3 万件时,日盈利额最大.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 费用(用料)最省问题统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y1128000 x3 380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少
11、升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析(1)当 x40 时,汽车从甲地到乙地行驶了10040 2.5(小时),要耗油(1128000403 380408)2.517.5(升)(2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时,设耗油量为 h(x)升,依题意得h(x)(1128000 x3 380 x 8)100 x 11280 x2 800 x 154(0 x120),h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120),令 h(
12、x)0 得 x80.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 当 x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数当 x80 时,h(x)取到极小值h(80)11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,耗油最少,为 11.25 升第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其它三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆料场的长、宽应分别为_答案 16m 8m第四章 2
13、 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 设场地宽为 xm,则长为128x m,因此新墙总长度为 y2x128x(x0),y2128x2,令 y0,x0,x8.因为当 0 x8 时,y0;当 x8 时,y0,所以当 x8 时,y 取最小值,此时宽为 8m,长为 16m.即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料最省.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关系甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每
14、小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 错解(1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv,全程运输成本为 yasvbv2svsavbv,所求函数及其定义域为 ysavbv,v(0,c(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数,由ysbav2 0得vab,又 0c,v(0,c,此时 yc 时,行驶速度 vc.第四章 2 2.2 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课 时 作 业(点此链接)