1、课时提能演练(五十八)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012揭阳模拟)已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()(A)2(B)2(C)8(D)22.抛物线y24x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)4个3.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)84.(2012广州模拟)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|
2、AB|等于()(A)3 (B)4 (C)3 (D)45.(2012汕头模拟)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()(A)2(B)(C) (D)6.(易错题)点P在直线l：yx1上，若存在过P的直线交抛物线yx2于A，B两点，且|PA|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是()(A)直线l上的所有点都是“点”(B)直线l上仅有有限个点是“点”(C)直线l上的所有点都不是“点”(D)直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”二、填空题(每小题6分，共18分)7.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为
3、8，则p.8.(2012湛江模拟)若直线AB与抛物线y24x交于A、B两点，AB的中点坐标是(4,2)，则直线AB的方程是.9.设直线l：2xy20与椭圆x21的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使得PAB的面积为的点P的个数为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x2相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.11.(预测题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆1(a0)与圆C的
4、一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【探究创新】(16分)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕与AB交于点E，以EB和EB为邻边作平行四边形EBMB.若以B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)：(1)求点M的轨迹方程；(2)若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与
5、曲线S切于点P，Q，R.求梯形A1B1C1D1面积的最小值.答案解析1.【解析】选B.根据已知条件c，则点(，)在椭圆1上，1，m0，可得m2.2. 【解析】选C.由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此共有2个满足条件的圆.3.【解析】选C，设P(x0，y0)，则1即y023，又F(1,0)，x0(x01)y02x02x03(x02)22，又x02,2，()2,6，所以()max6.4.【解题指南】转化为过A，B两点且与xy0垂直的直线
6、与抛物线相交后求弦长问题求解.【解析】选C.设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2xb30x1x21，得AB的中点M(，b)又M(，b)在直线xy0上，可求出b1，x2x20，则|AB|3.【方法技巧】对称问题求解技巧若A、B两点关于直线l对称，则直线AB与直线l垂直，且线段AB的中点在直线l上，即直线l是线段AB的垂直平分线，求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l的对称问题，常转化为过两对称点的直线与圆锥曲线的相交问题求解.5.【解析】选C.设椭圆交直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由，消去y，得5x28tx4(t21)0，则有(8t)
7、2454(t21)0，即t，且x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.6.【解题指南】由|PA|AB|可得点A为线段PB的中点.【解析】选A.本题用数形结合法易于求解，如图，设A(m，n)，P(x，x1)，则B(2mx,2nx1)，A，B在yx2上，消去n，整理得x2(4m1)x2m210.(1)(4m1)24(2m21)8m28m50恒成立，方程(1)恒有实数解，应选A.7.【解析】由题意可知过焦点的直线方程为yx，联立有x23px0，又|AB|8p2.答案：28.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)则得y22y124(x2x1)1，即直线AB的斜率为1，
8、则直线AB的方程为y2x4，即xy20.答案：xy209.【解题指南】先求出弦长|AB|，进而求出点P到直线AB的距离，再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程，最后数形结合求解.【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0)，(0,2)，故|AB|，要使PAB的面积为，即h，所以h.联立y2xm与椭圆方程x21得8x24mxm240，令0得m2，即平移直线l到y2x2时与椭圆相切，它们与直线l的距离d都大于，所以一共有4个点符合要求.答案：410. 【解析】(1)如图，设M为动圆圆心，F(2,0)，过点M作直线x2的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|MN|，即动点M到定点F与到定直线x2的
9、距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x2为准线，所以动圆圆心轨迹C的方程为y28x.(2)由题可设直线l的方程为xk(y2)(k0)，由，得y28ky16k0，(8k)2416k0，解得k0或k1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y28k，y1y216k，由0，得x1x2y1y20，即k2(y12)(y22)y1y20，整理得：(k21)y1y22k2(y1y2)4k20，代入得16k(k21)2k28k4k20，即16k4k20，解得k4或k0(舍去)，所以直线l存在，其方程为x4y80.【误区警示】本题易忽视判别式大于零，从而得出两条直线方程
10、.11.【解题指南】(1)中，设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解.(2)中，要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于线段OF的长，可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆(x4)2y216与(1)所求的圆的交点个数.【解析】(1)设圆心坐标为C(m，n)(m0，n0)，则圆C的方程为(xm)2(yn)28，已知该圆与直线yx相切，那么圆心到直线yx的距离等于圆的半径，则2，即|mn|4又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入圆的方程得m2n28联立和组成方程组，解得，故圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)长半轴a5，a225，则椭圆的方程为1，其半焦
11、距c4，右焦点为F(4,0)，那么|OF|4，则以F为圆心，4为半径的圆的方程是(x4)2y216.联立两圆的方程得，解得x，y或x0，y0.所以存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于线段OF的长.【变式备选】已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(1,0)，离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可知：c1，a2b2c2，e，解得：a，b1，故椭圆的方程为：y21.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，联立
12、，得，整理得 (12k2)x24k2x2k220直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1x2，x0，y0垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)，令y0，得xGx0ky0k0，xG0.点G横坐标的取值范围为(，0).【探究创新】【解析】(1)如图，设M(x，y)，B(x0,2)，显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为ykxb，即E(0，b)，则kBBk而BB的中点(，1)在直线l上，故()b1b1，由于 (x，yb)(0，b)(x0,2b) 代入即得y1，又0x02，点M的轨迹方程y1(0x2).(2)易知曲线S的方程为y1(2x2)，设梯形A1B1C1D1的面积为s，如图，点P的坐标为(t，t21)(0t2).由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y1.因y1，y，y|xt，直线A1B1的方程为y(t21)(xt)，即：yxt21，令y0，得，x，A1(，0).令y1得，xt，B1(t,1)，s(t)12t2，当且仅当t，即t时取“”，且(0, ，故t=时，s有最小值为2.梯形A1B1C1D1的面积的最小值为2
