1、课时提能演练(四十八)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()(A)abc(B)abc(C)abc (D)abc2.(2012上海模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为() (A)(B)(C) (D)3.有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c
2、是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足0，0，0，则BCD的形状是()(A)钝角三角形 (B)直角三角形(C)锐角三角形 (D)无法确定5.已知ABCD为四面体，O为BCD内一点(如图)，则()是O为BCD重心的() (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件6.(2012青岛模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012佛山模
3、拟)若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共线，则pq.8.已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z.9.(2012长沙模拟)空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2).(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)11.(2012襄阳模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面AB
4、C中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1，A1A的中点.(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求证：A1BC1M.【探究创新】(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.答案解析1.【解析】选A.c()c(ba)abc.【变式备选】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x、y的值分别为()(A)x1，y1 (B)x1，y(C)x，y (D)x，y1【解析】选C.如图，()，所以x，y.2.【解析】选B.设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，则(2，2,1)，(2,2，1)
5、，cos，sin，.3. 【解析】选C.对于，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以错误，正确.4. 【解题指南】通过，的符号判断BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状.【解析】选C.()()220，同理0，0.故BCD为锐角三角形.5. 【解析】选C.若O是BCD的重心，则()()()()，若()，则0，即0.设BC的中点为P，则20，2，即O为BCD的重心.6. 【解析】选A.如图，设a，b，c，则abbcca0. 由条件知(abc)acabc2a2b2c2，|.7.【解析】(1，1,3)，(p1，2，q4)由题设.，pq5.答案：58
6、.【解析】A，B，C，D四点共面，mnp，且mnp1.由条件知2x3y4z，(2x)(3y)(4z)1.2x3y4z1.答案：19.【解析】由题意知()84cos4586cos601624.cos，.OA与BC所成角的余弦值为.答案：【误区警示】本题常误认为，即为OA与BC所成的角.【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是.【解析】设P(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，故P(，3).由两点间距离公式可得|.答案：10.【解析】(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(
7、2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为(，).【变式备选】已知b与a(2，1,2)共线，且满足ab18，(kab)(kab)，求b及k的值.【解析】a，b共线，存在实数，使ba.aba2|a|2( ) 218，解得2.b(4，2,4).(kab)(kab)，(kab)(k ab)0，(ka2a)(k a2a)(k24)|a|20，k2.11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，|.(2)依题意得A1(1,
8、0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，cos，.(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，2)，(1,1，2)，(，0).00，.A1BC1M.【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法(1)常见类型利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.(2)常用的解题方法基向量法先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；坐标法根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可.【探究创新】【解题指南】向量，的模均为1，其夹角都是60，故选取，当基底，利用向量的运算求|的最小值.【解析】设a，b，c，由题意，知|a|b|c|1，a， bb，cc，a60，点P在平面ABC上，存在实数x，y，z，使x ay bz c，且xyz1，2(x ay bz c)2x2y2z22xy ab2yz bc2xz acx2y2z2xyyzzx(xyz)2(xyyzzx)1(xyyzzx)1(xyz)2x2y2z22xy2yz2zx(x2y2)(y2z2)(z2x2)2xy2yz2zx(2xy2yz2zx)2xy2yz2zx3(xyyzzx)，xyyzzx，当且仅当xyz时“”成立.21，|，|OP|的最小值为.
