1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大 版 选修1-1 第三章 变化率与导数成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 变化率与导数 第三章 第三章 变化率与导数成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2 导数的概念及其几何意义第三章 第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课前自主预习第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概念，
2、通过函数图像直观地理解导数的几何意义2会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 导数的概念函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是 limx0yx limx0fx0 xfx0 x.我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作f(x0)或y|x x0，即f(x0)limx0yx _.limx0fx0 xfx0 x第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 导数的几何意义1.曲线的切线：过曲线 yf(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ，当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若
3、割线 PQ 趋近于某一确定的直线 PT，则这一确定的直线 PT 称为曲线 yf(x)在点 P 的_设 P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则 割 线 PQ 的 斜 率 kn _.切线fxnfx0 xnx0第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2导数的几何意义函数 yf(x)在 xx0 处的导数，就是曲线 yf(x)在 xx0 处的_，即 kf(x0)_.3函数的导数对于函数 yf(x)，当 xx0 时，f(x0)是一个确定的数当x 变化时，f(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 yf(x)的 导 函 数(简 称 为 导 数)，即f(x)y _.切线的斜
4、率limx0fx0 xfx0 xlimx0fxxfxx第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.导数的概念(1)y|xx0表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数(2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度等等都需要应用导数第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(3)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 y 与自变量的改变量 x 之比的极限，它是一个局部性的概念，若limx0yx存在，则函数
5、yf(x)在点 x0 处就有导数，否则就没有导致，即limx0yx存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一个定数第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个_，不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数_(3)函数yf(x)在点x
6、0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的_，即f(x0)_.常数f(x)函数值f(x)|xx0第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 1.已知f(x)x23x，则f(0)()Ax3 B(x)23xC3D0答案 C解析 f(0)limx00 x230 x0230 xlimx0 x23xxlimx0(x3)3.故选 C.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 2(2014三峡名校联盟联考)曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为()Ay2x By2x1Cy2x1Dy2x答案 B解析 yxxx2x2x2xx，limx0yx2x，
7、y|x12，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 3曲线 yx3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为()A(2，8)B(1,1)，(1，1)C(2,8)D(12，18)答案 B解析 yx3，ylimx0 xx3x3xlimx0 x33xx23x2xx limx0(x)23xx3x23x2.令 3x23，得 x1，点 P 的坐标为(1,1)，(1，1)第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 4函数 yf(x)1x在 x1 处的切线方程为_答案 xy20解析 y|x1f(1)lim
8、x0f1xf1xlimx011x1xlimx011x1，则切线方程为 y1(x1)，即 xy20.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课堂典例探究第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 利用定义求函数在某点处的导数根据导数定义求函数 yx21x5 在 x2 处的导数解析 当 x2 时，y(2x)212x5221254x(x)2x22x，所以yx4x142x，所以 y|x 2 limx0yx limx04x142x 401420154.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 用导数定义求函
9、数在某一点处的导数的步骤为：一差、二比、三极限(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)取极限，得导数 f(x0)limx0yx.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 函数f(x)x32x1在x1处的导数为_答案 5解析 yf(1x)f(1)(1x)32(1x)1(13211)5x3(x)2(x)3，yx5x3x2x3x53x(x)2，f(1)limx0yxlimx053x(x)25.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 求切线方程已知曲线C：f(x)x3.(1)求曲线C上横
10、坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程解析(1)f(x)limx0 xx3x3x limx0 x33x2x3xx2xlimx0(x)23x23xx3x2，f(1)3123，又 f(1)131，切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)设切点为 P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为 kf(x0)3x20，故切线方程为 yx303x20(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1x303x20(1x0)，即 2x303x2010，(x01)2(2x01)0，解得 x01 或
11、 x012.故所求的切线方程为y13(x1)或 y1834(x12)，即 3xy20 或 3x4y10.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 1.求曲线在点 P(x0，y0)处切线的步骤：(1)求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0f(x0)(xx0)；2过曲线外的点 P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为 Q(x0，y0)；(2)求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)；(3)利用 Q 在曲线上和 f(x0)kPQ，解出 x0，y0 及 f(x0)(4)根
12、据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0f(x0)(xx0)第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 3要正确区分曲线 yf(x)在点 P 处的切线，与过点 P 的曲线 yf(x)的切线4f(x0)0 时，切线的倾斜角为锐角；f(x0)0 时，切线的倾斜角为钝角；f(x0)0 时，切线与 x 轴平行f(x)在 x0处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 已知曲线方程为yx2，则：(1)过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为_；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程为_答案(1)4xy4
13、0(2)2xy10或10 xy250解析(1)f(x)limx0 xx2x2xlimx02xxx2xlimx0(2xx)2x，又点 A(2,4)在曲线 yx2 上，f(2)4，所求切线的斜率 k4，故所求切线的方程为 y44(x2)，即 4xy40.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1(2)点 B(3,5)不在曲线 yx2 上，设切点坐标为(x0，x20)，由(1)知 f(x0)2x0，切线的斜率 k2x0，切线方程为 yx202x0(xx0)，又点 B(3,5)在切线上，5x202x0(3x0)，解得 x01 或 x05.切点坐标为(1,1)，(5,25)故所
14、求切线方程为 y12(x1)或 y2510(x5)，即 2xy10 或 10 xy250.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 求切点坐标已知曲线 f(x)12x22x 的一条切线斜率是 4，则切点的横坐标为()A2 B1C1D2第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 答案 D方法规律总结 求切点坐标时，先根据切线与导数的关系，求出切线方程，再求切线与曲线的交点，找出切点解析 yf(xx)f(x)12(xx)22(xx)12x22xxx12(x)22x，yxx12x2，f(x)limx0yxx2.设切点坐标为(x0，y0)，则 f(
15、x0)x02.由已知 x024，x02，故选 D.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1,0)B(2,8)C(1,0)或(1，4)D(2,8)或(1，4)答案 C第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 f(x)limx0 xx3xx2x3x2xlimx03x21x3xx2x3x3x21.由于曲线 f(x)x3x2 在 P0 处的切线平行于直线 y4x1，所以 f(x)在 P0 处的导数值等于 4，设 P0(x0，y0)，有 f(
16、x0)3x2014.解得 x01，这时 P0 点的坐标为(1,0)或(1，4).第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 求函数的导函数已知 yf(x)2x，求 f(x)及 f(1)分析 求函数在某一点处的导数可先求函数的导数，再求此点的导数值 解 析 y f(x x)f(x)2xx 2x 2 x xxxx x.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 f(x)limx0yxlimx02 x xxxx xxlimx02xxxxx xx x xxlimx02xx x x xx2x x2 xx32.f(1)x32|x11.第三章 1成才之路
17、高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 方法规律总结 1.函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念，在点 x0 处的导数是函数的导数在 xx0 处的函数值2求函数的导数共三个步骤：求函数的增量xf(xx)f(x)；求平均变化率yxfxxfxx；取极限并求极限值，取导数 f(x)limx0fxxfxx.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 已知曲线y3x2x，求曲线上一点A(1,2)处的切线斜率解析 ylimx0fxxfxxlimx03xx2xx3x2xx6x1.y|x16115.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1
18、审题要细致 试求过点 M(1,1)且与曲线 yx31 相切的直线方程错解 yxxx31x31x3xx23x2xx3x3xx3x2(x)2.limx0yx3x2，因此 y3x2，所以在 x1 处的切线斜率 k3，切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 辨析 上述解法错在将点(1,1)当成了曲线yx31上的点因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情况求解正解 y3x2(解法同上)，设过(1,1)点的切线与 yx31 相切于点 P(x0，x301)，据导数的几何意义，函数在点 P 处的切线的斜率为 k3x
19、20，过(1,1)点的切线的斜率 kx3011x01 ，3x20 x30 x01，解得 x00 或 x032，所以 k0或 k274，因此 yx31 过点 M(1,1)的切线方程有两个，分别为 y1274(x1)和 y1，即 27x4y230 或 y1.第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 分析指出下题解答中的错误，并加以纠正设 f(x)在 x0 处可导，求limx0fx0 xfx0 x的值解：x0，x0，又f(x)在 x0 处可导，limx0fx0 xfx0 xf(x0)第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 解析 上述解答由于对导数的定义理解不清致误，函数值 f(x0 x)f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0 x)x0 x.正确解答为：f(x)在 x0 可导，limx0fx0 xfx0 x limx0fx0 xfx0 xf(x0)第三章 1成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修1-1 课 时 作 业（点此链接）
