1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知数列1,5, 3,13,则5在这个数列中的项数为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的递推关系,属于基础题【解答】解：由1,5, 3,13,得an=4n-3,令4n-3=5,解得n=7,故选C2. 已知等差数列an中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为()A. 15B. 17C. 36D. 64【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得2a5=a2+a8=16,解得a5=8 等差数列an的公差d=a5-a4=8-1=7, a6=a5+d=8+7=15 故选：A由等差数列的性质可得a5,进
2、而可得数列的公差,而a6=a5+d,代入化简可得本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质的应用,属基础题3. 若直线过点M(1,2),N(4,2+3),则此直线的倾斜角为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：直线过点M(1,2),N(4,2+3),该直线的斜率为k=2+3-24-1=33,即tan=33,；该直线的倾斜角为故选：A利用两点的坐标,求出直线的斜率,从而求出该直线的倾斜角本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题,是基础题目4. 数列an的通项公式an=1n+1+n,它的前n项和为Sn=9.则n=()A. 9B. 10C. 99D. 100【答案】C【
3、解析】【分析】本题考查数列的性质和应用,数列求和的方法,解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题由题意知an=n+1-n,通过Sn=9,求解即可【解答】解：数列an的通项公式an=1n+1+n=n+1-n,Sn=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1=9解得n=99故答案为：C5. 设an是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】解：设an的前3项为a1,a2,a3,则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,a1+a2+a3=3a2=12,解得a2=4,由题意可得a1+a3=8a1a3=12,解得a1=2a3
4、=6或a1=6a3=2,an是递增等差数列,a1=2,a3=6,故选：B由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,又已知a1+a2+a3=12,可得a2=4,故条件转化为a1+a3=8,a1a3=12,解方程即可求出a1本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质,应用了解方程思想,是高考重点考查的内容6. 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1,则Sn=()A. 2n-1B. 2n-1C. 12(3n-1)D. 3n-1【答案】D【解析】解：当n=1时,a1=1,2S1=a2,a2=2当n2时,由2Sn=an+1,2Sn-1=an,两式相减得2an=an+1-an,an+1=
5、3an,数列an是以a2=2,3为公比的等比数列,Sn=a1+2(3n-1-1)3-1=3n-1,当n=1时,上式也成立故选：D利用当n2时,2Sn=an+1,2Sn-1=an,两式相减得3an=an+1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出,n=1时单独考虑熟练掌握an=Sn-Sn-1(n2)及等比数列的前n项和公式是解题的关键7. 如图,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则必有( ) A. k1k3k2B. k3k1k2C. k1k2k3D. k3k23,且均为锐角由于正切函数y=tanx在(0,2)上单调递增,且函数值为正,所以tan2tan30,即k2k30当为钝角时,
6、tan为负,所以k1=tan10综上k1k3k2,故选：A8. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得a1(1-126)1-12=378,解得a1=192,an=192(12)n-1=384(12)n,3
7、84(12)n12.8,解得n4,即从第4天开始,走的路程少于30里,故选：B由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属基础题9. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的()A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当m=12时,直线(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53,直线(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35,满足k1k2=-1,“m=12”是“直线
8、(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件,而当(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0得：m=12或m=-2“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：B判断充分性只要将“m=12”代入各直线方程,看是否满足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,判断必要性看(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0的根是否只有12本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定10. 已知等差数列an满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,则n的值为()A. 8B. 9C.
9、 10D. 11【答案】C【解析】解：Sn-Sn-3=51(n3), an+an-1+an-2=51(n3),又数列an为等差数列, 3an-1=51(n2), an-1=17.(n2), 又a2=3,Sn=100, Sn=(a2+an-1)n2=(3+17)2n=100, n=10故选C依题意可求得an-1=17(n2),结合a2=3,Sn=100,利用等差数列的性质即可求得n的值本题考查数列的求和,突出等差等差数列的性质,考查观察与利用差等差数列的性质分析解决问题的能力,属于中档题11. 已知等比数列an中的各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a10+a11a8+a9=A.
10、 1-2B. 1+2C. 3-22D. 3+22【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等差数列的定义和性质,等比数列的通项公式的应用,求出q=1+2,是解题的关键,属于中档题【解答】解：设等比数列an的公比为q,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,解得q=1+2,或q=1-2(舍去)a10+a11a8+a9=a8q2+a8q3a8+a8q=q2+q31+q=3+22故选D12. 意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1
11、)+F(n-2)(n3,nN*).若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an,则数列an的前2019项的和为( )A. 672B. 673C. 1346D. 2019【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的概念及简单表示法,考查推理与运算能力,属于中档题由题意可得数列an为周期数列,该数列的周期为3,每一周期的和为2,由此可求出答案【解答】解：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,此数列被2整除后的余数构成一个新数列an,则an：1,1,0,1,1,0,1,1,0,其周期为3,故数列an的前2019项的和S2019=220193=1346,故选C二、填空题（本大题共4小题，共20.0
12、分）13. 等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n+1n+3,则a2+a20b7+b15=_ 【答案】83【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用,属于基础题根据等差数列的前n项和公式进行转化即可【解答】解：在等差数列中,a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=a1+a2122b1+b2122=S21T21,SnTn=3n+1n+3,S21T21=321+121+3=6424=83,故答案为8314. 已知三个数1m,1,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,则1m+n值为_【答案】12【解析】解：三个数1m,1
13、,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,1m+1n=2,m2n2=1,m+nmn=2,mn=1,1m+n=12故答案为：12由三个数1m,1,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,可得1m+1n=2,m2n2=1,即m+nmn=2,mn=1,由此可求1m+n值.本题考查等差数列、等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础15. 等比数列an共有20项,其中前四项的积是1128,末四项的积是512,则这个等比数列的各项乘积是_ 【答案】32【解析】【分析】本题考查等比数列的性质,属基础题由题意可得a1a202=2,而要求的式子等于a1a2010,代值计算可得【解答】解：
14、由题意可得a1a2a3a4=1128,a20a19a18a17=512,两式相乘结合等比数列的性质可得(a1a20)4=1128512=4,解得(a1a20)2=2等比数列的各项乘积等于(a1a20)10=25=32故答案为：3216. 若数列满足,则称数列为调和数列。已知数列为调和数列,且,则_【答案】20【解析】【分析】本题主要考查新数列定义,及等差数列的重要性质,属中档题型利用调和数列及等差数列的求和公式与性质得出即可【解答】解：由题意知：数列1xn为调和数列,11xn+1-11xn=xn+1-xn=d,xn是等差数列又x1+x2+x20=200=20(x1+x20)2,x1+x20=2
15、0,又x1+x20=x5+x16,x5+x16=20,三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (本小题10分)等差数列an的前n项和为Sn,a3+a5=a4+7且a1+a10=20(1)求an的通项公式；(2)求满足不等式Sn3an-2的n的值【答案】解：(1)设数列an的公差为d,由a3+a5=a4+7,得2a1+5d=a1+3d+7由a1+a10=20,得10a1+45d=100,解得a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1；(2)因为a1=1,an=2n-1,所以Sn=a1+an2n=n2,由不等式Sn3an-2,得n23(2n-1)-2,所以n2-6n+50,
16、解得1n13loga(1-a)对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围【答案】解：(1)点(n,sn)在函数y=12x2+12x的图象上,Sn=12n2+12n,当n2时,Sn-1=12(n-1)2+12(n-1),-得an=n,当n=1时,a1=S1=12+12=1,符合上式,an=n；(2)由(1)知an=n,则1anan+2=12(1n-1n+2).Tn=12(1-13)+(12-14)+(13-15)+(1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2).Tn+1-Tn=1(n+1)(n+3)0,数列Tn单调递增,(Tn)min=T1=13要使不等式Tn13loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要1313loga(1-a),1-a0,0aa,即0a0,可判断数列Tn单调递增,从而可求得a的取值范围
