1、课时作业1(2019银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是()Amn BmnCm与n相交 Dm与n异面答案A解析若，m，则直线m与平面的位置关系有两种：m或m.当m时，又n，所以mn；当m时，又n，所以mn.故选A.2若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为
2、BB1时，l1l4，故排除A，B，C，选D.3如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.4如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M答案D解析直线AB，M直线AB，M.又l，Ml
3、，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上故选D.5(2019大连模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D垂直答案A解析直线A1B与其外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交6(2019泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体
4、中如图，由图可知A不正确；由la，且lb，可得ab，与题设矛盾，故B不正确；由a，且b，可得ab，与题设矛盾，D不正确故选C.7如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案C解析A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RPSQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线故选C.8(2019银川模拟)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为()A. B.
5、 C. D答案B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC1的长方体B1F，如图所示连接C1E，NE，则C1EBD1，于是NC1E即为异面直线BD1与C1N所成的角(或其补角)在NC1E中，根据已知条件可求C1N5，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.所以异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是()AA1C1平面ABCD BAC1BDCAC1与CD成45角 DA1C1与B1C成60角答案C解析选项A，B，D显然正确；CDC1D1，故AC1D1为AC1与CD所成的角，易得tanAC1D11，C错误故选C.10一个
6、正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为60答案D解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60.故选D.11(2019天津模拟)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下说法：直线MN平面PQR；点K在直线MN上；M，N，K，A四点共面其中说法正确的是_答案解析依题意画出图形，如图所示，则MPQ，NRQ，KRP，从而点M，N，K平面PQR.所以直线MN平面PQR，故正确
7、；同理可得点M，N，K平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故正确；因为A直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故正确12如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图：对于，G，H分别为DE，BE的中点，则GHAD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故错误；对于，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正
8、四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故正确；对于，依题意，得GHAD，MNAF，DAF60，故GH与MN成60角，故正确；对于，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，DE平面AGF，DEAF，而AFMN，DE与MN垂直，故正确综上所述，正确命题的序号是.13下列如图所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号)答案解析易知中，PSQR，所以四点共面；在中，构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面；在中，由点P，R，Q确定平面，由图象观察，知点S在平面外，因此四点不共面综上知，故填.14已知在三棱锥A
9、BCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为_答案60或30解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则MPN60或MPN120.因为PMAB，所以PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角当MPN60时，因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即异面直线AB与MN所成的角为60.当MPN120时，易知PMN是等腰三角形，所以PMN30，即异面直线AB与MN所成的角为30.综上，异面直线AB与M
10、N所成的角为60或30.15如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为_，异面直线AC与BD所成角的余弦值为_答案2解析连接CD，则BCD90，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD2.因为CBD30，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE2，CAE即为异面直线AC与BD所成的角又CE，所以cosCAE.16已知在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别
11、是BC，CD的中点求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交证明(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B，C，A，D，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线(2)如图，连接EF，FG，GH，EH，EG，FH，则EFAC，HGAC，因此EFHG，同理，EHFG，则四边形EFGH为平行四边形又因为EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，则EG与FH相交17在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图所示，在正方体ABC
12、DA1B1C1D1中，连接B1C，AB1，易知A1DB1C，从而B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即AC与A1D所成的角为60.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，BDA1C1.E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.18(2019邯郸一中模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心，如图所示(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点点O是正ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面ADA1.BCAA1.又AA1CC1，异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角CC1BC，且侧棱长和底面边长均为2，四边形BCC1B1为正方形，BC1C45，异面直线AA1与BC1所成角的大小为45.(2)三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，可求得AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.
