1、第2课时椭圆的标准方程(1) 教学过程一、 问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、 数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF22c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平
2、分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.2将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c20,所以可设a2-c2=b2(b0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都
3、满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(ab0)中的x,y互换即可得到方程+=1(ab0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).所以,当
4、焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(ab0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 16x2+7y2=112.规范板书解(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2) 方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).题后反思求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、 数
5、学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围.(见学生用书P17)处理建议引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.规范板书解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7k10.题后反思学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.处理建议让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.规范板书解由题意可得所以4k0,10-k0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.3【例2】(根据教材第32页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4,b=3,焦点在x轴上
6、;(2) b=1,c=;(3) 两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3).(见学生用书P18)处理建议引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.规范板书解(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2) 因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(ab0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方
7、程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.4【例3】(教材第31页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)处理建议先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.规范板书解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x,y),由题意可得因为x2+y2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.题后反思学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程
8、的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.处理建议引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.规范板书解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(ab0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因
9、此,这个椭圆的标准方程为+=1.题后反思本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、 课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4kb0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、 课堂小结1. 椭圆的标准方程有两种形式:焦点在x轴上:+=1(ab0);焦点在y轴上:+=1(ab0).2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:椭圆的中心在坐标原点;椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.
