1、第7讲 抛物线第八章平面解析几何1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离_；(3)定点_定直线上相等不在2抛物线的标准方程和几何性质标准 方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图 形 顶 点O(0，0)对称轴y0 x0焦 点F_F_F_F_ 离心率e_ p2，0p2，00，p20，p21准线 方程xp2xp2yp2yp2范 围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口 方向向右向左向上向下焦半径(其中 P(x0，y0)|PF|x0p2|
2、PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p21辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线(2)对于抛物线标准方程中参数 p，易忽视只有 p0 才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p 2psin2(为 AB 的倾斜角)(3)1|AF|1|BF|为定值2p.(4)以 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切1(20
3、15高考陕西卷)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1，0)B(1，0)C(0，1)D(0，1)B解析：抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，由题设知p21，即p21，所以焦点坐标为(1，0)2已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是()Ay22 2xBy22xCy24xDy24 2xD解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，(2，0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y24 2x.3(选修 2-1 P67 练习 T3(1)改编)抛物线 x22py
4、(p0)上的点P(m，2)到焦点 F的距离为 3，则该抛物线的方程为_x24y解析：根据抛物线定义可知 2p23，所以 p2，所以抛物线的方程为 x24y.4动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_y24x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.考点一 抛物线的定义及其应用(1)(2014高考课标全国卷)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.72 B.52 C3
5、D2(2)已知抛物线 y24x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_C4解析(1)因为FP4FQ，所以|FP|4|FQ|，所以|PQ|PF|34.如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4，所以|PQ|PF|QQ|AF|34，所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3.(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|，则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进
6、行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p2或|PF|y|p2.1.(1)(2016云南省统一检测)设经过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心D相交且经过圆心B(2)(2016长春调研)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，则抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是()A.3 55B2C.115D3B解析
7、：(1)设圆心为 M，过点 A、B、M 作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1、B1、M1，则|MM1|12(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|12|AB|，即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径，故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(2)由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点 F 为(1，0)，则动点 P 到 l2的距离等于|PF|，则动点P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值即为焦点 F到直线l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406|52.考点二 抛物线的标准方程及性质(
8、高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数 p；(3)与其他知识交汇求解综合问题(1)(经典考题)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2 B2 2C2 3D4(2)(2016岳阳模拟)已知 P(0，2)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，若PQF90，则 p_C2解析(1)设 P(x0，
9、y0)，则|PF|x0 24 2，所以 x03 2，所以 y204 2x04 23 224，所以|y0|2 6.因为 F(2，0)，所以 SPOF12|OF|y0|12 22 62 3.(2)由题意得点 Fp2，0，根据抛物线的定义(抛物线上的任意一点到准线的距离与到焦点的距离的比值为 1，即相等)得|QM|MF|.又因为PQF 为直角三角形且 PF 为斜边(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，所以|PM|MF|，即点 M 为线段 PF 的中点由 Fp2，0，P(0，2)知 M 点的坐标为p4，1，又因为点 M 在抛物线上，所以 122pp4，所以 p 2或 p 2(舍去)(1)求抛物线的
10、标准方程的方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可 因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量(2)确定及应用抛物线性质的技巧 利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程 要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.2.(1)(2016襄阳调研测试)抛物线 y22px 的焦点为 F，M 为抛物线上一点，若OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为 9，则 p()A2 B4C6 D8(2)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2y29 相交，
11、公共弦 MN 的长为 2 5，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程B解：(1)选 B.因为OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，所以OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为 9，所以圆的半径为 3，又因为圆心在 OF的垂直平分线上，|OF|p2，所以p2p43，所以 p4.(2)由题意，设抛物线方程为 x22ay(a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则|MA|AN|，且 AN 5.因为|ON|3，所以|OA|32（5）22，所以 N(5，2)因为 N 点在抛物线上，所以 52a(2)，即 2a52，故抛物线的方程为 x252y 或 x252y.抛物线 x2
12、52y 的焦点坐标为0，58，准线方程为 y58.抛物线 x252y 的焦点坐标为0，58，准线方程为 y58.考点三 直线与抛物线的位置关系(1)(2014高考辽宁卷)已知点 A(2，3)在抛物线C：y22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为()A.12 B.23C.34D.43D(2)(2016九江统考)过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交抛物线的准线于 C，若|AF|6，BC FB，则 的值为()A.34B.32C.3D3D解析(1)抛物线 y22px 的准线为直线 xp2，而点 A(2
13、，3)在准线上，所以p22，即 p4，从而 C：y28x，焦点为 F(2，0)设切线方程为 y3k(x2)，代入 y28x，得k8y2y2k30(k0)，由于 14k8(2k3)0，所以 k2 或 k12.因为切点在第一象限，所以 k12.将 k12代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线 BF 的斜率为8643.(2)设 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则 x126，解得 x14，y14 2，直线 AB 的方程为 y2 2(x2)，令x2，得 C(2，8 2)，联立方程y28x，y2 2（x2），解得 B(1，2
14、2)，所以|BF|123，|BC|9，所以 3.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 注意 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.3.(2016唐山一模)已知抛物线 y22px(p0)，过点 C(2，0)的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，坐标原
15、点为 O，OA OB 12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程解：(1)设 l：xmy2，代入 y22px 中，得 y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y24p，则 x1x2y21y224p2 4.因为OA OB 12，所以 x1x2y1y212，即 44p12，解得 p2，故抛物线的方程为 y24x.(2)(1)中(*)可化为 y24my80，y1y24m，y1y28，设 AB 的中点为 M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|1m2|y1y2|（1m2）（16m
16、232），由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得 m23，m 3，所以直线 l 的方程为 x 3y20 或 x 3y20.方法思想函数思想求圆锥曲线中的最值 抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是_43解析 设 P(x，x2)，则点 P 到直线 4x3y80 的距离 d|4x3x28|169153x23220335x23243，在抛物线 yx2 中，xR，所以当 x23时，d 取得最小值43，即抛物线yx2 上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是43.解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标 若点 P 在抛物线 y2x 上，点 Q 在圆(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值为_112 1解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为 A(3，0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当 P，Q，A 三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设 P(x0，y0)，则 y 20 x0，|PA|（x03）2y20 x206x09x0 x0522114，当且仅当 x052时，|PA|取得最小值 112，此时|PQ|取得最小值 112 1.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
