1、江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题：1.已知复数满足,则的模为 【答案】1考点：复数的模2.已知集合,则 【答案】考点：集合的交集3.已知角的终边经过点,且,则的值为 【答案】10【解析】试题分析：考点：三角函数定义4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 【答案】7考点：循环根据流程图5.将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为 【答案】【解析】试题分析：将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，共有种基本事件，其中本数学书相邻包含种基本事件，所以概率为考点：古典概型概率6.若一组样本数据的平均数为，则该组样本数据的方差为 【答案】
2、2考点：方差7.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 【答案】考点：双曲线的离心率8.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 【答案】【解析】试题分析：考点：三棱锥体积9.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得的图像关于轴对称，则的最小值是 【答案】考点：三角函数图像与性质10.已知菱形的边长为，,点分别在边上，.若，则 【答案】考点：向量数量积11.已知正实数满足，则的最大值为 【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时，取等号考点：基本不等式求最值12.已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为 【答案】9考点：等比数列13.已知点为圆外一点，圆
3、M上存在点T使得则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以考点：直线与圆位置关系14.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是 【答案】考点：函数图像，一元二次方程实根分布二、解答题15.已知向量.(1)当时，求的值；(2)设函数，当时，求的值域.【答案】(1)-7， (2) 【解析】考点：向量平行坐标表示，三角函数性质16.如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.【答案】(1)如图 (2)
4、详见解析【解析】考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理17.某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【答案】(1) (2) 当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大【解析】考点：函数实际应用，利用基本不等式及导数求最值18.已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.(1)若时，求的值；(2)若时，证明直线
5、过定点.【答案】(1) (2)详见解析【解析】考点：直线与椭圆位置关系19.在数列中，已知，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，其中为正整数.(1)求数列的通项公式；(2)问是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ， (2) 【解析】试题分析：(1) 由和项与通项的关系，化简得到数列的递推关系：当时， ，两式相减得，从而得到数列为隔项成等差，又，可解得 ，同理因为，所以所以数列成公比为的等比数列，所以 (2) 因为，所以10分由得12分化简得：14分故，符合条件的有序实数对为16分考点：由数列和项求通项，数列综合应用20.设函数在点处的切线方程为.(1)求实数及的值；(2)求证：对任意实数，函数有且仅有两个零点.【答案】(1) (2)详见解析【解析】所以当时，在上单调减当时，取12分所以在上一定有一解14分综上所述，函数在上有且仅有两个零点.16分考点：导数几何意义，导数应用
