1、2015-2016学年江西省赣州市于都三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1下列说法正确的是（）A“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B若p：x0R，x02x010，则p：xR，x2x10C若pq为假命题，则p，q均为假命题D“若=，则sin=”的否命题是“若，则sin”2已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为，则m的值为（）ABCD或3设函数f（x）可导，则等于（）Af（1）B3f（1）CDf（3）4曲线过点P（，0）的切线方程是（）Ax+y=0B2x+2y=0C2x2y2=0D2x+2y2=05已知点A（3，4），F是抛物线
2、y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是（）A（0，0）B（3，2）C（2，4）D（3，2）6观察如图：若第n行的各数之和等于20112，则n=（）A2011B2012C1006D10057已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A1B1C1D18在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A30B60C90D1209某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为
3、半圆，则该几何体的体积是（）ABCD10已知函数f（x）=在1，+）上为减函数，则实数a的取值范围是（）AaeB0aeCaeD0a11执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A8B9C10D1112已知抛物线y2=2px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）A1B1CD二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13点P是函数y=x2lnx的图象上任一点，则P到直线y=x2的距离的最小值为14若数列an（nN*）是等差数列，则有数列（nN*） 也是等差数列；类比上述性质
4、，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn= （nN*）也是等比数列15设，为单位向量，且=+k，（k0），若以向量，为两边的三角形的面积为，则k的值为16已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为e=2，过原点的直线l与双曲线相交于A，B两点，M为双曲线上不同于A，B的点，且直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2 （1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间18设a0，f（x）=（1）写出a2，a3，a4的
5、值，并猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论19为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名
6、学生中至少有一人得分在90，100内的概率20已知椭圆的离心率与双曲线3x2y2=3的离心率互为倒数，且过点（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围21如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由22已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1
7、）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年江西省赣州市于都三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1下列说法正确的是（）A“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B若p：x0R，x02x010，则p：xR，x2x10C若pq为假命题，则p，q均为假命题D“若=，则sin=”的否命
8、题是“若，则sin”【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，A不正确；对于B，若p：x0R，x02x010，则p：xR，x2x10，B不正确；对于C，若pq为假命题，则p，q一假即假命，C不正确；对于D，“若=，则sin=”的否命题是“若，则sin”，满足否命题的形式，D正确；故选：D2已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为，则m的值为（）ABCD或【考点】椭圆的
9、简单性质【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程，算出c=结合椭圆离心率的公式，建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值【解答】解：椭圆的焦点在y轴上，a2=m，且m2，b2=2，可得c=又椭圆的离心率为，e=，解之得m=故选：B3设函数f（x）可导，则等于（）Af（1）B3f（1）CDf（3）【考点】变化的快慢与变化率【分析】利用导数的定义即可得出【解答】解： =故选C4曲线过点P（，0）的切线方程是（）Ax+y=0B2x+2y=0C2x2y2=0D2x+2y2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由求导公式和法则求出导数，再把x=代入求出切线的斜率，再代入点斜式方程化为斜截式即可【解
10、答】解：y=，则点P（，0）处的切线斜率k=，点P（，0）处的切线方程是：y0=（x），即2x+2y2=0，故选：D5已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是（）A（0，0）B（3，2）C（2，4）D（3，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】设抛物线的准线为l，过M作MBl于B，过A作ACl于C，利用抛物线的定义，可得结论【解答】解：设抛物线的准线为l，过M作MBl于B，过A作ACl于C，由抛物线定义知|MF|=|MB|MA|+|MF|=|MA|+|MB|AC|（折线段大于垂线段），当且仅当A，M，C三点共线取等号，即|MA|+
11、|MF|最小此时M的纵坐标为4，横坐标为2所以M（2，4）故选C6观察如图：若第n行的各数之和等于20112，则n=（）A2011B2012C1006D1005【考点】归纳推理【分析】由题意及所给的图形找准其排放的规律，利用等差数列的通项及其前n项和公式即可求解【解答】解：由题意及所给的数据排放规律如下：第一行一个数字就是1；第二行3个数字，构成以2为首项，以1为公差的等差数列；第三行5个数字，构成以3为首项，以1为公差的等差数列；第一行的最后一项为1；第二行的最后一项为4；第三行的最后一项为7；所给的图形中的第一列构成以1为首项，以1为公差的等差数列；有图形可以知道第n行构成以n为首项，以1
12、为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式给以知道第n行共2n1个数；由以上的规律及等差数列的知识可以设第n行的所有数的和为20112，列出式为：（2n1）n+=20112，解得n=1006故选C7已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A1B1C1D1【考点】几何概型【分析】分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：三角形的三边长分别是5，5，6，三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=64=12，则该蚂蚁距离三角形的三
13、个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=1222=122，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1，故选：C8在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A30B60C90D120【考点】异面直线及其所成的角【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角
14、坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，A1P=t（0t1），A（2，0，0），M（0，0，1）O（1，1，0），P（2，t，2），=（2，0，1），=（1，t1，2），=2+0+2=0，异面直线OP与AM所成的角的大小为90故选：C9某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥，结和数据求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆锥的高为=2；该几何体的体积为V半圆锥=122=故选：A10已知函数f（
15、x）=在1，+）上为减函数，则实数a的取值范围是（）AaeB0aeCaeD0a【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求导，由函数f（x）在1，+上为减函数，转化为f（x）0在1，+上恒成立问题求解【解答】解：f（x）=，由f（x）0在1，+）上恒成立，即1lnalnx0在1，+）上恒成立，lnxln恒成立，ln0，即1，ae故选：C11执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A8B9C10D11【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+sin，kZ的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+
16、sin=0，依次验证选项即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+sin，kZ的值，sin的值以6为周期，且sin+sin+sin=0，当t=8时，S=sin+sin+sin=sin+sin+sin=1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin=1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=01，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin=01，故D不符合要求；故选：A12已知抛物线y2=
17、2px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）A1B1CD【考点】椭圆的简单性质【分析】如图所示，由AFx轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）代入椭圆的方程可得： =1，又b2=a2c2，利用离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，AFx轴，=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=pA，即A（c，2c）代入椭圆的方程可得： =1，又b2=a2c2，=1，化为e46e2+1=0，0e1解得e2=32，1故选：B二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13点P是函
18、数y=x2lnx的图象上任一点，则P到直线y=x2的距离的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式【分析】先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求P到直线y=x2的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：由可得x=1，所以切点为（1，1），它到直线y=x2的距离为故答案为：14若数列an（nN*）是等差数列，则有数列（nN*） 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn= （nN*）也是等比数列【考点】类比推理【分析】在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，由加法类比推理为乘法，由减法类
19、比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，可得结论【解答】解：数列an，（nN*）是等差数列，则有数列（nN*）也是等差数列类比推断：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列dn也是等比数列故答案为：15设，为单位向量，且=+k，（k0），若以向量，为两边的三角形的面积为，则k的值为【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】求出的夹角，计算，对=+k，两边平方，列出方程解出k【解答】解：设，夹角为，则sin=，sin=1，=0=+k，2=2+k22+k=1，=1，又k0，解得k=故答案为：16已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为e=2，过原点的直线l与双曲线相交于A，B
20、两点，M为双曲线上不同于A，B的点，且直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=【考点】双曲线的简单性质【分析】由于A，B连线经过坐标原点，得出A，B关于原点对称，根据离心率求出a、b、c的关系，即可求出直线MA，MB的斜率乘积【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（x1，y1），M（x，y），则=1，=1，=，即=；又该双曲线的离心率为e=2，=1+=4，=3，k1k2=3故答案为：3三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2 （1）求y=f
21、（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；（2）首先对f（x）=2+1求导，可得f（x）=10x39x，令f（x）0解之即可求出函数的单调递增区间【解答】解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f（x）=4ax3+2bx，k=f（1）=4a+2b=1切点为（1，1），则f（x）=ax4+bx2+c
22、的图象经过点（1，1），得a+b+c=1，得a=，b=f（x）=2+1（2）f（x）=10x39x0，x0，或x单调递增区间为（，0），（，+）18设a0，f（x）=（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理【分析】（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列an的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设【解答】（1）解：a1=1，猜想（2）证明：n=1时，猜想正确 假设n=k时猜想正确，即，则这说明，n=k+1时猜想正确 由知，19为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，
23、某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方
24、图【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有3人，分数在90，100内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在90，100内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n=25，y=0.008，x=0.1000.0080.0120.0160.040=0.024（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有3人，分数在90，100内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在90，100内的情况有
25、7种，所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率为20已知椭圆的离心率与双曲线3x2y2=3的离心率互为倒数，且过点（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）双曲线3x2y2=3即=1的离心率e=2由题意可得：椭圆的离心率=，b2=a2c2，把点代入椭圆方程解出即可得出（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，可得0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：MN中点P的坐标为，设M
26、N的垂直平分线l方程：，由于P在l上可得：4k2+5km+3=0，与0联立解出即可得出【解答】解：（1）双曲线3x2y2=3即=1的离心率e=2由题意可得：椭圆的离心率，a=2c，b2=a2c2=3c2，椭圆方程为又点在椭圆上，c2=1，椭圆的方程为（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，直线y=kx+m与椭圆有两个交点，=（8km）24（3+4k2）（4m212）0，即m24k2+3，又，MN中点P的坐标为，设MN的垂直平分线l方程：，P在l上，即4k2+5km+3=0，将上式代入得，或，k的取值范围为21如图，在四棱柱AB
27、CDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）证明A1OAD，A1OCD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1O平面ABCD（）过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，设P（1，m，0）m1，1，求出平面A1AP的法向量，平面A1ADD1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m即可【解答】满分（）证明：A1AD=，且AA1=2，
28、AO=1，A1O=，+AD2=AA12，A1OAD又A1OCD，且CDAD=D，A1O平面ABCD（）解：过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz（如图），则A（0，1，0），A1（0，0，），设P（1，m，0）m1，1，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），=， =（1，m+1，0），且取z=1，得=又A1O平面ABCD，A1O平面A1ADD1平面A1ADD1平面ABCD又CDAD，且平面A1ADD1平面ABCD=AD，CD平面A1ADD1不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）由题意得=，解得m=1或m=3（舍去）当BP的长为2时，二面角DA1AP的值为22已知椭圆
29、的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为（2）设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2；椭圆方程为（2）C（2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得x1=，（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP则由，从而得m=0存在Q（0，0）满足条件2016年10月11日
