1、2021年江西省九江市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|1x1，Bx|x22x，则A（RB）（）A（1，0B（1，0）C（1，1）D2若复数z满足（12i）z2，则z的虚部为（）ABCD3研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（20162020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（）A近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系B近五年，R&D经费支出的中位数为1967
2、8C2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%D2020年，R&D经费支出增长速度最快4若实数x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为（）A3B1C5D15我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有7十四个节气，每个节气晷（gu）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）二十四节气及暑长变化如图所示，相邻两个节气唇长的变化量相同，周而复始若冬至暑长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）暑长是（）A三尺B三尺五寸C四尺D四尺五寸6已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|2，若椭圆C上存在点M，使
3、得F1MF290，则椭圆C短轴长的取值范围是（）A（0，1BC2，+）D（0，27函数，x2，2的图像可能是（）ABCD8已知曲线C1：ysinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2B将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2C将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2D将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C29已知点A，B是圆C：（x2）2+y24上的两点，且，则（）A6BCD310如图所示
4、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，给出下列四个结论：DP长度为定值；三棱锥PAB1D1的体积为定值；任意点P，都有DPA1C；存在点P，使得A1P平面AB1D1其中正确的是（）ABCD11在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，AB分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（）ABCD12已知f（x）是定义在R上的可导函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+xf（x）+1ex，则f（x）在（0，+）上（）A恒为正值B恒为负值C单调递增D单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若
5、函数，则f（3） 14圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为 15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则B 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，ABC是边长为2的等边三角形，平面PAC平面ABC，且PAPC，PAPC，则球O的表面积为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒
6、疫苗接种是当前有力的防控手段我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（）建立y关于x的线性回归方程；（）预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，18已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足2Snan2+an（nN*）（1）求an的通项公式；（2
7、）设bn，求数列bn的前n项和Tn19如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，CDA90，AD4，BCCD2，MBD为等边三角形（）求证：BDMC；（）若平面MBD平面ABCD，求D到平面ABM的距离20已知抛物线C：x22py（p0）上一点（2，m）到焦点的距离为2（）求抛物线C的方程；（）A，B为C上关于y轴对称的两点，过P作直线l交C于M，N两点，求证：直线AM，AN斜率的乘积为定值21已知函数f（x）eaxlnxx+1（aR）（1）当a0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意x（0，1），f（x）0恒成立，求a的取值范围请考生在第22-23题中任选一题作答，
8、如果多做，则按所做的第一题计分：选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l（）求直线l的极坐标方程；（）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|ON|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数的最大值为M（）求M的值；（）若正实数a，b满足2a+bM，求a2b的最大值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|1x1，Bx|x22x，则A（RB）（）A（1，0B（1，0）C（1
9、，1）D解：Bx|x22xx|0x2，则RBx|x0或x2，又Ax|1x1，所以A（RB）x|1x0（1，0）故选：B2若复数z满足（12i）z2，则z的虚部为（）ABCD解：（12i）z2，z的虚部为故选：C3研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（20162020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（）A近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系B近五年，R&D经费支出的中位数为19678C2020年，R&D经费支出
10、相对于2016年增长超过50%D2020年，R&D经费支出增长速度最快解：对于A，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，故A正确；对于B，五年，R&D经费支出的中位数为19678，故B正确；对于C，1.56，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，故C正确；对于D，2016年至2017年，R&D经费支出增长速度为1.123，2017年至2018年，R&D经费支出增长速度为1.118，2018年至2019年，R&D经费支出增长速度为1.125，2019年至2020年，R&D经费支出增长速度为1.103，故D错误故选：C4若实数x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为（）A
11、3B1C5D1解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数zx+y，可化为yx+z，平移目标函数，当yx+z过点A时，z取得最大值，由，解得A（1，2），所以z的最大值为zmax1+23故选：A5我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有7十四个节气，每个节气晷（gu）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）二十四节气及暑长变化如图所示，相邻两个节气唇长的变化量相同，周而复始若冬至暑长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）暑长是（）A三尺B三尺五寸C四尺D四尺五寸解：先取上半年进行研究，设晷影长为
12、等差数列an，公差为d，则a1135，a1315，d10，夏至之后第三个节气（立秋）暑长为：a16a13+3|d|15+3045，夏至之后第三个节气（立秋）暑长为四尺五寸故选：D6已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|2，若椭圆C上存在点M，使得F1MF290，则椭圆C短轴长的取值范围是（）A（0，1BC2，+）D（0，2解：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则c1，a2b2+1，椭圆C的标准方程为，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21，联立，可得y2b4，所以，b4y21x21，b0，可得0b1，因此，椭圆C短轴长的取值范围是（0，2故选：D7函数，x2，2的图像可能是（）ABCD解：
13、设g（x）ln（x），则g（x）+g（x）ln（+x）（x）ln10，即g（x）g（x），则g（x）是奇函数，则f（x）sinxg（x）是偶函数，排除D，当x0时，x为减函数，则g（x）为减函数，则g（x）g（0）0，则当0x时，sinx0，则f（x）0，排除B，C，故选：A8已知曲线C1：ysinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2B将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2C将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2D将曲
14、线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2解：根据曲线C2：的部分图像可得，sin，再根据五点法作图可得+，求得2，故曲线C2的方程为ysin（2x+）故将曲线曲线C1：ysinx的图像先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，故选：B9已知点A，B是圆C：（x2）2+y24上的两点，且，则（）A6BCD3解：由题知圆C半径AC2，作CDAB交AB于点D，则由圆的性质可得|AD|AB|，则在直角三角形ACD中，cosCAD，而|AB|AC|cosCAD226故选：A10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，
15、给出下列四个结论：DP长度为定值；三棱锥PAB1D1的体积为定值；任意点P，都有DPA1C；存在点P，使得A1P平面AB1D1其中正确的是（）ABCD解：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0.1）、B1（1，1.1）、C1（0.1，1）、D1（0.0.1）设点P（t，1，1t），其中0t1对于，|DF|不是定值，错误；对于，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1且ABC1D1，所以，四边形ABC1D1为平行
16、四边形，则BC1AD1又BC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，则BC1平面AB1D1，又PBC1，则点P到平面AB1D1的距离为定值，故三角形AB1D1的面积也为定值，所以，三棱锥PAB1D1的体积为定值，正确；对于，所以，t+11+t0，因此，对任意点P，都有DPA1C，正确；对于，（t1，1，t），（0，1，1），（1，0.1），所以，这样的t不存在所以不存在点P，使得A1P平面B1D1，错误故选：C11在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，AB分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（）ABCD解：如图，设双曲线右焦点
17、为F，可得四边形AFFB是一个等腰梯形，且ABc，FF2c，过A作ADFF，可得FD，直线AF的斜率为，tanAFF，A（，），AFAF2a，故选：D12已知f（x）是定义在R上的可导函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+xf（x）+1ex，则f（x）在（0，+）上（）A恒为正值B恒为负值C单调递增D单调递减解：由f（x）+1+xf（x）+1ex，得f（x）+xf（x）exx1，设g（x）xf（x），则g（x）exx1，设h（x）exx1，h（x）ex1，当x0时，h（x）0，h（x）递增，x0时，h（x）0，h（x）递减，所以h（x）minh（0）0，所以h（x）h（0）0，即g
18、（x）0恒成立，所以g（x）是R上的增函数，又g（0）0，所以x0时，g（x）xf（x）0，f（x）0，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若函数，则f（3）2解：由题意知，f（3）f（32）f（1）212，故答案为：214圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为 解：小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，基本事件总数n10，赠送的两枚为不同种类型包含
19、的基本事件个数m6，则赠送的两枚为不同种类的概率为P故答案为：15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则B解：2bsin（C+）a+c，b（sinC+cosC）a+c，即bsinC+bcosCa+c，sinBsinC+sinBcosCsinA+sinCsin（B+C）+sinCsinBcosC+cosBsinC+sinCsinBsinCcosBsinC+sinC，sinC0，sinBcosB+1，两边平方得：3sin2Bcos2B+1+2cosB，2cos2B+cosB10，解得cosB，或1，0B，B故答案为：16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，ABC是边长为2
20、的等边三角形，平面PAC平面ABC，且PAPC，PAPC，则球O的表面积为 解：由已知可得，PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，取AC的中点D，则D为PAC的外心，设等边三角形ABC的外心为O，则ODAC，又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，OD平面PAC，可知O为三棱锥PABC外接球的球心，则半径R，球O的表面积S4R24故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣
21、传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（）建立y关于x的线性回归方程；（）预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，解：（），y关于x的线性回归方程为；（）20080%160，设，数列an的前n项和为Sn，数列an为等差数列，则，S6127.2，S7163.8，预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天18已知正项数列an的前n项和
22、为Sn，且满足2Snan2+an（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由已知条件可知，对任意的nN*，an0，当n1时，解得a11；当n2时，由2Snan2+an，可得2Sn1an12+an1，上述两式作差得，即，即（an+an1）（anan11）0，由已知条件可知an+an10，anan11，数列an是等差数列，且首项为1，公差也为1，因此，an1+（n1）1n；（2）由（1）可知，则bn，因此，19如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，CDA90，AD4，BCCD2，MBD为等边三角形（）求证：BDMC；（）若平面MB
23、D平面ABCD，求D到平面ABM的距离【解答】（1）证明：取BD的中点O，连接MO，CO，因为BCCD，所以BDCO，又因为MBD为等边三角形，所以BDMO，又MOCOO，MO，CO平面MCO，所以BD平面MCO，又MC平面MCO，所以BDMC（2）解：如图所示，取MB的中点E，连接DE，因为底面ABCD为直角梯形，BCAD，CDA90，AD4，BCCD2，所以BD2，AB2，所以AB+BDAD，所以ABBD，因为平面MBD平面ABCD，平面MBD平面ABCDBD，所以AB平面MBD，又DE平面MBD，所以ABDE，因为MBD为等边三角形，E为MB的中点，所以DEMB，又ABMBB，所以DE平
24、面ABM，所以DEBDsin，所以点D到平面ABM的距离为20已知抛物线C：x22py（p0）上一点（2，m）到焦点的距离为2（）求抛物线C的方程；（）A，B为C上关于y轴对称的两点，过P作直线l交C于M，N两点，求证：直线AM，AN斜率的乘积为定值解：（）因为（2，m）在抛物线C：x22py（p0）上，所以m因为点（2，m）到焦点的距离为2，所以+2，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y（）证明：因为A，B为抛物线C上关于y轴对称的两点，设A（x1，y1），B（x1，y1），由（0，p）（0，2），所以P（x1，y1+2），由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y（y1+2）k（x+x
25、1），M（xM，yM），N（xN，yN），联立，得x24kx4kx14y180，则xM+xN4k，xMxN4kx14y18，所以yM+yNk（xM+x1）+y1+2+k（xN+x1）+y1+2k（xM+xN）+2kx1+2y1+44k2+2kx1+2y1+4，yMyN（kx1+y1+2）2k2x12+y12+4+2kx1y1+4kx1+4y1，所以kAMkAN，所以直线AM，AN的斜率乘积为定值21已知函数f（x）eaxlnxx+1（aR）（1）当a0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意x（0，1），f（x）0恒成立，求a的取值范围解：（1）当a0时，f（x）lnxx+1，得f（x）1，（
26、x0），当0x1时，f（x）10；当x1时，f（x）0，所以f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为1，+）（2）由（1）知当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1），则f（x）f（1）0符合题意；当a0时，x（0，1），则eax1，lnx0，所以eaxlnxlnx，由（1）知f（x）lnxx+1f（1）0，所以eaxlnxlnxx1，故f（x）lnxx+10成立，则a0成立；当a0时，由f（x）eax（alnx+）1，x（0，1），令g（x）alnx+，则g（x）0，所以g（x）在x（0，1）上单调递减，得g（x）g（1）1，又yeax（0，1）且为减函数，所以f（x）eaxg（x）1
27、为减函数，又f（1）ea10，故设f（x0）0，当x0x1时，有f（x）0，所以f（x）在（x0，1）为减函数，则有f（x0）f（1）0，故a0不符合题意，综上所述：a0请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l（）求直线l的极坐标方程；（）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|ON|的值解：（）已知曲C1的参数方程为（为参数），
28、转换为直角坐标方程为（x1）2+（y1）22；曲线C2的极坐标方程为1，转换为直角坐标方程为x2+y21；两圆相减得：2x+2y10根据，转换为极坐标方程为2cos+2sin10；（）设直线l0的方程为：，与直线l交于点M，所以，整理得，直线l0与曲线C1交于点N，所以t2cos22tcos+t2sin22tsin0，整理得：tON2（sin+cos），所以：|OM|ON|选修4-5：不等式选讲23已知函数的最大值为M（）求M的值；（）若正实数a，b满足2a+bM，求a2b的最大值解：（）f（x），画出yf（x）的图象，由图象可知，当x时，有最大值，最大值为4，则M4；（）方法一：由（）可得正实数a，b满足2a+b4，b42a0，解得0a2，a2ba2（42a）4a22a3，设g（a）4a22a3，0a2，g（a）6a2+8a6a（a），当0a时，g（a）0，函数g（a）单调递增，当a2时，g（a）0，函数g（a）单调递减，g（a）maxg（）42方法二：由（）可得正实数a，b满足2a+b4，a2b（）3，当且仅当ab时取等号，故a2b的最大值为
