1、2015-2016学年江西省名校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题1设函数f（x）=lgx的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则AB等于（）A1，+）B1，1C（0，1D1，+）2在公比为q的等比数列an中，若5a4=1，a5=5，则q等于（）ABC5D253设向量、均为单位向量且夹角为120，则（+2）（）等于（）AB0CD4设a，b，l均为不同直线，均为不同平面，给出下列3个命题：若，a，则a；若，a，b，则ab可能成立；若al，bl，则ab不可能成立其中，正确的个数为（）A0B1C2D35设sin10+cos10=mcos（325），则m等于（）A1BC1D6曲线f（x
2、）=+1在（1，6）处的切线经过过点A（1，y1），B（3，y2），则y1与y2的等差中项为（）A6B4C4D67设命题p：x0（0，+），e+x0=5命题q：x（0，+），+x21那么，下列命题为真命题的是（）AqB（p）（q）CpqDp（q）8若函数f（x）=2sin（x）（0），且f（2+x）=f（2x），则|的最小值为（）ABCD9若二次函数y=ax2（a0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（，）C（0，）（，+）D（0，）（2，+）10已知Sn为数列an的前n项和，若an（4+cosn）=n（2cosn），S2n=an2+bn，则ab等于（
3、）ABCD11设函数f（x）=log（x2+1）+，则不等式f（log2x）+f（logx）2的解集为（）A（0，2B，2C2，+）D（0，2，+）12“k”是“关于x的不等式lnx+x+1x2+kx有且仅有2个正整数解”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题13已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=6x+2x，则f（f（1）=14设Sn为数列an的前n项和，若Sn=5an1，则an=15一个几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，则该几何体外接球的表面积为16在ABC中，A=2B，且3sinC=5
4、sinB，则cosB=三、解答题17设向量=（2，6），=（sin，1），（0，）（1）若A、B、C三点共线，求cos（+）；（2）若，求的取值范围18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3（sin2B+sin2Csin2A）=2sinBsinC（1）求tanA；（2）若ABC的面积为+，求a的最小值19已知在公差不为零的等差数列an中，a5=3a21，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列（1）nbn的前n项和Sn20如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上（1）若D是AB中点，求证：
5、AC1平面B1CD；（2）当=时，求二面角BCDB1的余弦值21已知函数f（x）=kexx2（kR）（1）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值；（2）设k0，求函数g（x）=f（x）+e2x+x在区间（，ln 2上的最小值22设a，bR，曲线f（x）=ax2+lnx+b（x0）在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0（1）若函数g（x）=f（ax）m有2个零点，求实数m的取值范围；（2）当p2时，证明：f（x）x3px22015-2016学年江西省名校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设函数f（x）=lgx的定义域为A，函数g（x）=的定义
6、域为B，则AB等于（）A1，+）B1，1C（0，1D1，+）【考点】并集及其运算；函数的定义域及其求法【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；集合【分析】求出函数f（x）和g（x）的定义域A、B，计算AB即可【解答】解：函数f（x）=lgx的定义域为A，A=x|x0=（0，+）；又函数g（x）=的定义域为B，B=x|1x20=x|1x1=1，1；AB=1，+）故选：A【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的简单运算问题，是基础题目2在公比为q的等比数列an中，若5a4=1，a5=5，则q等于（）ABC5D25【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知条件利
7、用等比数列的通项公式能求出公比q【解答】解：在公比为q的等比数列an中，5a4=1，a5=5，解得q=25故选：D【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用3设向量、均为单位向量且夹角为120，则（+2）（）等于（）AB0CD【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用【分析】根据平面向量的乘法运算展开解答即可【解答】解：因为、均为单位向量且夹角为120，所以=，则（+2）（）=12=；故选：D【点评】本题考查了平面向量的运算；属于基础题4设a，b，l均为不同直线，均为不同平面，给出下列3个命题：若，a，则a；若，a，
8、b，则ab可能成立；若al，bl，则ab不可能成立其中，正确的个数为（）A0B1C2D3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在中，a与平行、相交或a；在中，a，b有可能异面垂直；在中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到ab有可能成立【解答】解：由a，b，l均为不同直线，均为不同平面，得：在中，若，则a与平行、相交或a，故错误；在中，若，a，b，则a，b有可能异面垂直，故ab可能成立，故正确；在中，若al，bl，则ab有可能成立，例如正方体中过同一顶点的三条棱，故错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注
9、意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用5设sin10+cos10=mcos（325），则m等于（）A1BC1D【考点】两角和与差的正弦函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式求得sin（45+10）=mcos35，即cos35=mcos35，从而求得m的值【解答】解：sin10+cos10=mcos（325）=mcos 325=mcos（45）=mcos35，即sin（45+10）=mcos35，即cos35=mcos35，m=，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题6曲线f（x）=+1在（1，6）处
10、的切线经过过点A（1，y1），B（3，y2），则y1与y2的等差中项为（）A6B4C4D6【考点】等差数列的通项公式；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；综合法；导数的概念及应用；等差数列与等比数列【分析】由导数的几何意义求出曲线f（x）=+1在（1，6）处的切线为y=，由此求出y1，y2，从而能求出y1与y2的等差中项【解答】解：f（x）=+1，f（1）=，曲线f（x）=+1在（1，6）处的切线为：y6=，即y=，切线经过过点A（1，y1），B（3，y2）， =1，y1与y2的等差中项：A=6故选：D【点评】本题考查等差中项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合
11、理运用7设命题p：x0（0，+），e+x0=5命题q：x（0，+），+x21那么，下列命题为真命题的是（）AqB（p）（q）CpqDp（q）【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；定义法；简易逻辑【分析】利用函数零点存在定理以及基本不等式分别判断两个命题的真假，然后结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键【解答】解：设f（x）=ex+x5，则f（x）=15=40，f（5）=e5+55=e50，则：x0（0，+），使f（x0）=0，即e+x0=5成立，即命题p是真命题，+x=+x+1121=21，当且仅当=x+1，即x+1=，x=时取等号，故：x（0，+），+x21成立，即命题q为真命题则pq
12、为真命题，其余为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系的判断，利用条件判断p，q的真假性是解决本题的关键8若函数f（x）=2sin（x）（0），且f（2+x）=f（2x），则|的最小值为（）ABCD【考点】正弦函数的图象【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数关于x=2对称，可得2=k+，kZ，求得的解析式，可得|的最小值【解答】解：由题意，函数关于x=2对称，可得2=k+，kZ，求得=k+，则k=1时，|的最小值为，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题9若二次函数y=ax2（a0）的图象与不等式组表示的平面区域
13、无公共点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（，）C（0，）（，+）D（0，）（2，+）【考点】简单线性规划【专题】函数思想；数形结合法；不等式【分析】先画出满足条件的平面区域，求出临界点的坐标，从而求出a的范围即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将A（1，2）代入y=ax2，解得：a=2，将B（3，2）代入y=ax2，解得：a=，若二次函数y=ax2（a0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则a（0，）（2，+），故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题10已知Sn为数列an的前n项和，若an（4+cosn）=n（
14、2cosn），S2n=an2+bn，则ab等于（）ABCD【考点】等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】an（4+cosn）=n（2cosn），分别令n=1，2，3，4，可得a1，a2，a3，a4由于S2n=an2+bn，可得S2=a+b=a1+a2，S4=4a+2b=a1+a2+a3+a4，联立解出即可得出【解答】解：an（4+cosn）=n（2cosn），a1=1，a2=，a3=3，a4=S2n=an2+bn，S2=a+b=a1+a2=，S4=4a+2b=a1+a2+a3+a4=1+3+=联立解得b=，a=则ab=故选：A【点评】本题考查了数列的通项公式及
15、其前n项和公式及其性质、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设函数f（x）=log（x2+1）+，则不等式f（log2x）+f（logx）2的解集为（）A（0，2B，2C2，+）D（0，2，+）【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质【专题】数形结合；换元法；函数的性质及应用【分析】f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，再通过换元法解题【解答】解：f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，令t=log2x，所以， =t，则不等式f（log2x）+f（）2可化为：f（t）+f（
16、t）2，即2f（t）2，所以，f（t）1，又f（1）=2+=1，且f（x）在0，+）上单调递减，在R上为偶函数，1t1，即log2x1，1，解得，x，2，故选：B【点评】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题12“k”是“关于x的不等式lnx+x+1x2+kx有且仅有2个正整数解”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；简易逻辑【分析】由图可求得“关于x的不等式lnx+x+1x2+kx有且仅有2个正整数解”的k的取值范
17、围，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：关于x的不等式lnx+x+1x2+kx即xk，设y=x，则y=，令y=的零点为a，则a（0，1），且当x（0，a）时，y0，y=x为增函数，当x（a，+）时，y0，y=x为减函数，故函数y=x的图象如下图所示：要使xk有且仅有2个正整数解，则k，），即k”，故“k”是“关于x的不等式lnx+x+1x2+kx有且仅有2个正整数解”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，存在性问题，数形结合思想，其中求出“关于x的不等式lnx+x+1x2+kx有且仅有2个正整数解”的充要条件，难度较大二、填空题13已知函数f（x）为奇函数，当
18、x0时，f（x）=6x+2x，则f（f（1）=8【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，可得f（1）=f（1），进而可得f（f（1）的值【解答】解：函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=6x+2x，f（1）=f（1）=（6+2）=4，f（f（1）=f（4）=24+16=8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度中档14设Sn为数列an的前n项和，若Sn=5an1，则an=【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知的数列递推式求出首项，再由数列递推式得
19、到数列an是以为首项，以为公比的等比数列则an可求【解答】解：由Sn=5an1，取n=1，得a1=5a11，；当n2时，an=SnSn1=5an15an1+1，4an=5an1，即（n2）则数列an是以为首项，以为公比的等比数列故答案为：【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15一个几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，则该几何体外接球的表面积为14【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何【分析】由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，我们可以把它看成
20、其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球【解答】解：由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，故其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球，则2R=，外接球的表面积S=4R2=14，故答案为：14【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中利用补足法，将该几何体的外接球，转化为其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球是解答的关键16在ABC中，A=2B，且3sinC=5sinB，则cosB=【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知及两角和正弦函数公式，倍角公式可得sinC=2sinBcos2B+（2cos2B1）
21、sinB，结合已知可得6cos2B+3（2cos2B1）=5，即可解得cosB的值【解答】解：A=2B，A+B+C=，可得：C=3B，sinC=sin3B=sin（2B+B）=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+（2cos2B1）sinB，3sinC=5sinB，6sinBcos2B+3（2cos2B1）sinB=5sinB，sinB0，解得：6cos2B+3（2cos2B1）=5，解得：cos2B=，A=2B，B为锐角，cosB=故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题17设向量
22、=（2，6），=（sin，1），（0，）（1）若A、B、C三点共线，求cos（+）；（2）若，求的取值范围【考点】运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）由条件利用三点共线的条件，求得sin的值，可得cos（+）的值（2）由条件利用两个向量的数量积的运算，求得2sin+sin2+7，求得sin，由此求得的范围【解答】解：（1）向量=（2，6），=（sin，1），（0，），若A、B、C三点共线，则有=，求得sin=，cos（+）=sin=（2）=（2+sin，7）（sin，1）=2sin+sin2+7，求得sin，2k2k+
23、，kZ即要求的的取值范围为（ 2k，2k+ ），kZ【点评】本题主要考查三点共线的条件，两个向量的数量积的运算，解三角不等式，属于中档题18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3（sin2B+sin2Csin2A）=2sinBsinC（1）求tanA；（2）若ABC的面积为+，求a的最小值【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形；不等式的解法及应用【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理，可得cosA=，由同角的基本关系式，即可得到tanA；（2）运用三角形的面积公式，求得bc，再由余弦定理结合基本不等式，即可得到a的最小值【解答】解：（1）由正弦定
24、理可得，3（sin2B+sin2Csin2A）=2sinBsinC，即为3（b2+c2a2）=2bc，由余弦定理可得cosA=，sinA=，tanA=；（2）ABC的面积为+，即有bcsinA=+，即bc=6+2，a2=b2+c22bccosA2bcbc=（2）（6+2）=8，即有a，则当b=c时，a取得最小值，且为2【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，以及面积公式的运用，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题19已知在公差不为零的等差数列an中，a5=3a21，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列（1）nbn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求
25、和【专题】计算题；分类讨论；分类法；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列an的通项公式（2）由bn=，得（1）nbn=（1）n（）=（1）n+（1）n，由此根据n的奇偶性进行分类，能求出数列（1）nbn的前n项和【解答】解：（1）公差不为零的等差数列an中，a5=3a21，且a1，a2，a4成等比数列，解得a1=1，d=1，an=1+（n1）1=n数列an的通项公式an=n（2）bn=，（1）nbn=（1）n（）=（1）n+（1）n，当n是奇数时，数列（1）nbn的前n项和：Sn=（+）+（）=1=当n是偶数时，数列
26、（1）nbn的前n项和：Sn=（+）+（+）=1+=【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分类讨论思想的合理运用20如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上（1）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（2）当=时，求二面角BCDB1的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法
27、求二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：连接BC1，交B1C于E，连接DEABCA1B1C1是直三棱柱，D是AB中点侧面BB1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线DEAC1，又DE平面B1CD，AC1平面B1CDAC1平面B1CD（2）AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2ACBC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）设D （a，b，0）（a0，b0），点D在线段AB上，且=，即=a=，b= =（3，0，4），=（，0）显然=（0，0，4）是平面BCD的一个法向量设平面B1CD的法向量
28、为=（x，y，z），那么由=0， =0，得，令x=1，得=（1，3，）cos=又二面角BCDB1是锐角，故其余项值为【点评】本题考查线面平行的判定及二面角的求法求二面角的方法：法一、作二面角的平面角证明符合定义解三角形求解；法二、向量法，求得两平面的法向量，根据cos=求解21已知函数f（x）=kexx2（kR）（1）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值；（2）设k0，求函数g（x）=f（x）+e2x+x在区间（，ln 2上的最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算【专题】计算题；分类讨论；换元法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，设切点
29、为（m，0），求得切线的斜率，解方程可得k的值；（2）求得g（x）=kex+e2x，令t=ex（0t2），即有y=g（x）=t2+kt，对称轴为t=0，讨论区间（0，2与对称轴的关系，结合单调性可得最小值【解答】解：（1）f（x）=kexx2的导数为f（x）=kexx，设切点为（m，0），即有kemm=0，kemm2=0，解方程可得m=0，k=0，或m=2，k=，则k=0或；（2）函数g（x）=f（x）+e2x+x=kex+e2x，令t=ex（0t2），即有y=g（x）=t2+kt，对称轴为t=0，当02，即4k0时，函数的最小值为（）2=；当2，即k4时，函数在（0，2递减，最小值为4+2k
30、综上可得，在4k0时，g（x）的最小值为；k4时，函数g（x）的最小值为4+2k【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查可化为二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题22设a，bR，曲线f（x）=ax2+lnx+b（x0）在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0（1）若函数g（x）=f（ax）m有2个零点，求实数m的取值范围；（2）当p2时，证明：f（x）x3px2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】分类讨论；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切
31、线的方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式，函数g（x）=f（ax）m有2个零点，即为f（x）=m有两个不等的实根求得f（x）的导数和单调区间，可得最大值，即可得到m的范围；（2）对p讨论，当p0时，当0p2时，求出f（x）的导数，可得单调区间，即有最大值，再求y=x3px2的导数，单调区间，求得最小值，比较即可得证【解答】解：（1）f（x）=ax2+lnx+b的导数为f（x）=2ax+，由在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0，可得切线的斜率为2a+1=1，切点为（1，），可得a+b=，解方程可得a=1，b=，即f（x）=x2+lnx，函数g（x）=f（ax）m有2个零点，即为
32、f（x）=m有两个不等的实根由f（x）=x2+ln（x）的导数为2x+=（x0），可得x时，f（x）递增，x0时，f（x）递减，即有x=处取得最大值，且为+ln，可得m+ln；（2）证明：f（x）的导数为2x+=（x0），可得0x时，f（x）递增，x时，f（x）递减，即有x=处取得最大值，且为+ln0，当p0时，x3px20，即有f（x）x3px2；当0p2时，y=x3px2的导数为3x22px，当x时，函数递增，当0x时，函数递减，即有x=处取得最小值，且为p3，由+lnp3，可得f（x）x3px2综上可得当p2时，f（x）x3px2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查函数方程的转化思想，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题第20页（共20页）
