1、专题06 在柱形容器的液体中加柱形物体，柱形物体浸没问题一、常见题目类型1把柱状实心物体B放入足够深的柱状容器中的液体中（图1）。图2 图1AB2把柱状实心物体先放入足够深的柱状容器中，然后向里面加液体（图2）。二、例题【例题1】如图1所示，水平地面上有一质量为1千克的薄壁柱形容器，另有一个质量为4千克的圆柱体甲，甲的底面积是容器底面积的一半。容器中盛有水，将甲放入水中，分别测出甲放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。图1甲求圆柱体甲放入容器前水的深度。求容器的底面积。放入圆柱体甲后，通过计算判断柱形容器的水是否有溢出。请判断甲在水中的状态并说明理由（提示
2、：漂浮、浸没、未浸没等）。求圆柱体甲的密度。【答案】0.2米；210-2米2 ；无水溢出；浸没；4103千克/米3。【解析】h水p水前/水g 1960帕/（1103千克/米39.8牛/千克）0.2米Dpp容前p水前DF/ S容G容/ S容S容G容/Dp（1千克9.8牛/千克）/（2450帕1960帕）210-2米2甲放入水中，容器对水平桌面增大的压力 DF容=Dp S容=（4410帕-2450帕）210-2米2=39.2牛DF容=G甲，所以无水溢出。因为Dp容Dp水，所以圆柱体甲在水中一定沉底，且S甲=S/2，p水后2p 水前，所以甲在水中一定浸没（若未浸没时，S甲=S/2，后来水的深度h水后
3、=2h水前，p水后=2p 水前）。因为DF容=G甲，所以无水溢出Dh水Dp水/水g 490帕/1103千克/米39.8牛/千克 0.05米V甲V排S容Dh水210-2米20.05米110-3米3甲m甲/V甲4千克/ 110-3米34103千克/米3【例题2】如图2所示，水平桌面上放有轻质圆柱形容器A（容器足够高）和实心圆柱体B。容器A内装有深为0.1米的水，实心圆柱体B的质量为4千克、高为0.2米、底面积为0.01米2。求：图2AB（1）圆柱体B的密度。（2）水对容器底部的压强。（3）将圆柱体B竖直放入容器A中，能浸没在水中时，容器A对水平桌面压强的最小值。【答案】（1）2103千克/米3；（
4、2）980帕；（3）2940帕。【解析】（1）VB=SBh B=0.2米0.01米2=210-3米3B=mB/VB=4千克/（210-3米3）=2103千克/米3（2）p 水=水gh水=1.0103千克/米39.8牛/千克0.1米980帕（3）因为容器A对水平桌面的压力等于水的重力与B的重力的和是不变的，要求容器A对水平桌面的压强最小，应该满足容器的底面积最大才可以，但水的体积是一定的，底面积大时不一定浸没，所以要同时满足这两个条件，只有物体竖直放入且刚好浸没时，才可以。先求容器的最大底面积Smax Smax0.2米=0.1米Smax+0.20.01米3Smax=0.02米2再求容器A对水平桌
5、面压强的最小值：Pmin=F/Smax=（G物+G水）/Smax=m物g/Smax +水gh水Pmin=4千克9.8牛/千克/0.02米2+1.0103千克/米39.8牛/千克0.1米Pmin=2940帕【例题3】如图3所示，有一个底面积S2为3.010-2米2、足够深的柱状容器，其内有一个底面积S1为1.010-2米2高为0.2米的金属柱状实心物体，现不断向容器内注入水。hS2S1图3当加入水的体积为210-3米3时，求水对容器底部的压强；当加入水的质量为6千克时，求水对容器底部的压力。【答案】980帕；78.4牛。【解析】此类问题的计算难点是判断容器内的水是否浸没物体，根据数学知识即可。如
6、果物体未被浸没，则水为柱形，底面积为（S2S1），高度为h水=V水 /（S2S1）210-3米3/（3.010-2米21.010-2米2）=0.1米小于物体的高度高0.2m，所以物体没有被浸没，水的深度为0.1米。水对容器底部的压强 p =水gh水 =1.0103千克/米39.8牛/千克0.1米980帕若水的质量为6千克时，体积为V水m水/水6千克/ 103千克/米3610-3米3如果物体未被浸没，则水的高度为h水=V水 /（S2S1）610-3米3/（3.010-2米21.010-2米2）= 0.3米可见大于物体的高度高0.2m，所以物体被浸没。物体的体积为V甲1.010-2米20.2m21
7、0-3米3水的深度为h水=（V水 + V物）/ S2（610-3米3+210-3米3）/3.010-2米2=0.27米水对容器底部的压强 p =水gh水=1.0103千克/米39.8牛/千克0.27米2646帕水对容器底部的压力F = pS2646帕3.010-2米278.4牛【例题4】如图4所示，一个高度为0.2米、底面积为0.02米2的轻质圆柱形容器A内装有酒精，深度为0.1米(已知酒=0.8103千克/米3)。求:图4AB(1)酒精的质量m；(2)酒精对容器底部的压强p；(3)若将一个密度为2000千克/米3、底面积为0.01米2、高度为h的圆柱形实心物体B竖直放入容器中,使酒精对容器底
8、部产生的压强为最大,求圆柱形实心物体的最小高度值和酒精对容器底部产生的最大压强p最大。【答案】（1）1.6千克；（2）980784帕； （3）1568帕。【解析】（1）m酒酒V酒0.8103千克/米3210-3米31.6千克 （2）p酒酒gh酒0.8103千克/米39.8牛/千克0.1米784帕 （3）为使酒精对容器底部产生的压强最大，则酒精的深度h酒最大，应使圆柱形实心物体B没有浸没或刚好浸没（如图5）。此时酒精的最大深度为h酒=V酒 /（SASB）210-3米3/（0.02米20.01米2）=0.2米图5B酒精的最大深度等于圆柱形容器A的高度，酒精未溢出。圆柱形实心物体的最小高度值为hB=
9、0.2米p最大酒gh酒0.8103千克/米39.8牛/千克0.2米1568帕 三、练习题1如图1所示，薄壁柱形容器B置于水平地面上，均匀立方体A放置在容器B内，已知A的边长a为0.1米，重力大小为15牛；B的底面积为510-2米2。图1AB求立方体A对容器B底部施加的压强pA。若再向容器B内缓慢注入质量为4千克的水，求水对容器B底部的压强p水。【答案】（1）2103千克/米3 ；（2）980帕； （3）0.89千克 。 【解析】(1) 因为立方体A放置在水平面上不动，所以立方体A对容器B底部施加的压强为：pA=FA/SA=G/S=15牛/ /10-2米2=1500帕（2）V水 m水水=4千克/
10、1.0103千克/米3= 410-3米3 假设水倒入容器B后，水面没有超出立方体的顶部，则水深h=V水 / S水V水 /（SBSA）410-3米3/（5.010-2米21.010-2米2）=0.1米因为水深h等于立方体A 的边长a，所以假设成立。 因此p水水gh1103千克/米39.8牛/千克0.1米9.8102帕。2如图2所示，均匀实心圆柱体甲和盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，容器足够高，它们的底面积分别为S和3S，容器中水的深度为h，甲的重力为G。图2甲求甲对水平地面的压强。若容器中水的体积为210-3米3，求水的质量。现沿水平方向将甲截去一定厚度，并将截去部分放入容器内的水中，发现
11、甲所截的厚度H满足一定条件时，将它放入水中后，水对容器底的压强增加量p水与H无关。请通过计算说明H应满足的条件及p水。（水的密度表示为水）【答案】G/ S；2千克；H1.5h； 0.5水hg【解析】 P甲F甲/ S甲G/ S m水水V水 1103千克/米3210-3米32千克圆柱体甲在水中沉底且不浸没时，水对容器底的压强增加量与甲的厚度H无关。且S甲=S/3，水能上升到的最大深度为h水后1.5h，所以甲所截的厚度H1.5hh水1.5hh0.5h p水0.5水hg3如图3所示，圆柱体甲的体积为210-3米3，高为0.2米，甲的密度为2103千克/米3。放入物体前放入物体后p液（帕）p02p0图3
12、0.2米甲乙0.25米 求甲的质量m甲。 求甲竖直放置时对水平地面的压强p甲。 现有一底面积为210-2米2、高为0.25米的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。在容器乙中盛有质量为2千克的某种液体，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后液体对容器底部的压强p液，如表所示。求容器乙中液体密度的最小值。【答案】4千克；3920帕；103千克/米3。【解析】m甲甲V甲2103千克/米3210-3米34千克 p甲甲gh甲2.0103千克/米39.8牛/千克0.2米3920帕 因为p液=2p液，所以h液=2h液，柱体不浸没或刚好浸没V排 V甲 210-2米2h液110-2米2h甲h液1/2 h甲
13、=0.1米V液大=0.1米210-2米2= 210-3米3 液小=m液/V液大 = 2千克/210-3米3 =103千克/米3 4如图4（a）所示，两个完全相同的薄壁圆柱形容器放在水平地面上。容器中分别盛有酒精和水，酒精的体积为米（已知千克/米）。将图4（b）所示的实心圆柱形金属块（底面积为容器底面积的一半），分别竖直放入酒精和水中（液体都不溢出），同时测出放入金属块前后酒精和水对容器底部的压强p酒和p水，如下表所示。求：酒精的质量m酒。放入金属块前容器中水的深度h水。已知金属块放入液体后有浸没、未浸没、恰好浸没三种状态。i ) 分析比较金属块放入酒精前后，酒精的压强：P酒2P酒，可推出h酒2
14、h酒；同时结合已知条件S金=S容/2，可分析推出：金属块在酒精中处于_状态。ii) 分析比较金属块放水中入前后，水的压强：_，可知_，可分析推出：金属块在水中处于未浸没或恰好浸没状态。iii) 进一步综合分析，并通过计算说明金属块在水中所处的状态。【答案】2.4千克；0.2m；i）浸没；ii）P水=2P水；h水=2h水，同时结合已知条件 S金=S容/2；iii) 金属块在水中未浸没。 【解析】m酒酒V酒0.8103千克/米3310-3米32.4千克 p水水gh水103千克/米39.8牛/千克h水 h水 0.2m i）浸没； ii）P水=2P水；h水=2h水，同时结合已知条件 S金=S容/2 i
15、ii) 方法一：因为酒精的总体积不变，h酒=p酒/（酒g）= 0.3米h酒=p酒 /（酒g）=0.55米 h酒=0.25米 h金=h酒S/(1/2S) =0.5米所以金属块在水中未浸没。方法二：若金属块在水中恰好浸没h金=2h水=0.4米 则h酒= h金（S/2）/S=0.2米h酒=h酒+h酒=0.5米但实际金属块放入后酒精高度为 h酒=p酒/（酒g）=0.55米h酒h酒 所以金属块在水中未浸没。5盛有水的柱形容器置于水平地面上，现有一个棱长分别为0.1米、0.1米和0.3米的实心长方体金属块A，将A平放入容器中后，A浸没在水中，如图5所示（图中水面位置未画出）。图5（1）求A所受浮力的大小。
16、（2）若A的质量为8.1千克，求A的密度。（3）若容器的内底面积为0.05米2，现将A由原平放改成竖放在水中，求容器底受到水的压强变化量的范围。【答案】（129.4牛；（2）2.7103千克米3 ； （3）0490pa 。 【解析】（1）因为浸没，所以V排=V物F浮=液gV排=水gV排=1.0103千克米39.8牛/千克310-3米3 =29.4牛（2）=m/V =8.1千克/0.003米3=2.7103千克米3（3）第一种情况：若原水面高度 0.3米（竖放后仍保持浸没），则竖放后水面高度不变，即压强的变化量p水0第二种情况：若原水面高度恰为0.1m，设竖放后水面高度的变化量为h则 (0.05
17、-0.03)米20.1米(0.05-0.01)米2 （0.1米-h） h0.05米p水水gh水1.0103千克/米39.8牛/千克0.05米490帕 压强的变化量范围是0490pa6如图6（a）所示，轻质薄壁圆柱形容器甲置于水平地面，容器高0.2米，内盛0.15米深的水，水对容器底部压力为29.4牛。甲h乙0.2米0.15米（a） 图6 （b） 求水对容器底部的压强p水。 求容器的底面积S容。 现有面积为0.5S容、高为h、密度为5103千克/米3圆柱体乙，如图6（b）所示，将乙竖直放入容器甲中，若要使水对容器底部的压强p水最大，求h的最小值。【答案】1.47103帕；210-2米2；0.1米
18、。【解析】 p水水gh1.0103千克/米39.8牛/千克0.15米 1.47103帕 S容F/ p29.4牛/（ 1.47103帕）210-2米2 V甲上V乙小 S甲（0.2米0.15米）0.5S甲h乙小 h乙小0.1米7. 薄壁圆柱形容器甲的质量为0.4千克，底面积为110-2米2，容积为310-3米3，置于水平桌面上，内盛0.2米深的水。 求甲底部受到的水的压强p水。 现将质量为3.6千克的物体乙轻放入甲内，且乙浸没在水中。（a）求甲对桌面达到的最大压强p甲。（b）当甲对桌面达到最大压强时，求乙的最小密度r乙。【答案】1960帕；（a）5880帕；（b）3.6103千克/米3。【解析】
19、P水=水g h =1103千克/米39.8牛/千克0.2米3 =1960帕 （a） F甲max=G max=（m容+m水+ m物）g =6千克9.8牛/千克=58.8牛 p甲max= Fmax/s=58.8牛/110-2米2=5880帕 （b）V乙max= V容- V水=310-3米3-210-3米3=110-3米3 乙min= m物/ Vmax =3.6千克/110-3米3=3.6103千克/米3 8如图8所示，放在水平地面上的薄壁圆柱形容器A、B，底面积分别为410-2米2、610-2米2，高均为0.5米。A中盛有6.4千克的酒精（已知酒0.8103千克/米3）、B中有一底面积为310-2
20、米2、高为0.25米、质量为15千克的实心金属块甲，同时盛有水，水深0.12米。求： 甲的密度；酒精对容器底的压强；A B 图8甲若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，是否有可能使液体对容器底的压强相同。若有可能请求出体积值，若不可能请通过计算说明。【答案】2103千克/米3；1568帕；有可能。310-3m3或7.510-3m3。【解析】甲m甲/V甲15千克/（310-2米20.25米）2103千克/米3p酒F酒/S酒m酒g/S酒6.4千克9.8牛/千克/410-2米21568帕容器A中原来酒精的深度为h酒=V酒/SA=m酒/酒SA=0.2米容器B中原来水的深度为h水=0.12m，向两容
21、器中分别倒入体积相同的酒精和水， p水p酒 即：水gh水=酒精gh酒，水g h水+ V /（SBS甲）=酒精g（h酒+ V /SA） V 310-3米3h水=0.22米h铜 所以成立。9如图9所示，在水平桌面上放有两个完全相同的薄壁柱形容器A、B，底面积为510-3米2，高0.6米，容器中分别盛有0.7千克水和0.2米深的酒精（酒精=0.8103千克/米3），求：铜柱B图9AA容器中水的体积V水；B容器中酒精对容器底部的压强p酒精；将两个底面积为2.510-3米2、完全相同的实心铜质圆柱体分别放入A、B容器底部，要求：当圆柱体高度h为一定值时，容器内的液体对各自底部的压强大小相等（即p水= p
22、酒精）。计算出圆柱体高度的可能值。【答案】0.7 10-3米3；1568 帕；0.3m或0.2m。【解析】 V水=m水/水=0.7千克/1103千克/米3 =0.7 10-3米3 p酒=酒g h酒 =0.8103千克/米39.8牛/千克0.2米=1568帕 因为容器内的液体对各自底部的压强大小相等 即p水= p酒精 酒g h酒=水g h水h酒S容= h酒S容+h铜S容/2h铜 =0.3m 酒g h酒”=水g h水”酒g（V酒+ S铜h铜”）/ S容=水g（V水+ S铜h铜”）/ S容h铜” =0.2m 10如图10所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。甲的底面积为0.01米2、高
23、为0.3米，盛有0.2米深的水；乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。求水对甲底部的压强p水。求乙的密度r乙。图10甲0.2米0.3米0.8米乙若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量p甲。【答案】 1960帕；2103千克/米3；4410Pa。【解析】 p水水gh1.0103千克/米39.8牛/千克0.2米1960帕 =m/V =8千克/(0.005米20.8米)=2103千克/米3 水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水 =F乙因为F=PS所以水gh水S甲=乙gh乙
24、S乙水gh水2S乙=2水gh乙S乙h水=h乙 即水的深度等于乙剩余部分的高度当（V水+V乙）= V容 时（水刚好满）需要乙的高度h乙=（V容-V水）/S乙=（310-3米3-210-3米3）/0.005米2 = 0.2米所以h甲=h乙=0.3米V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米0.005米2-0.1米0.01米2=510-4米3P甲=F甲/ S甲G/S甲（G乙切 G溢）/ S甲=（5千克103千克/米3510-4米3）9.8牛/千克/0.01米24410Pa。11如图11所示，圆柱体甲的质量为3千克，高为0.2米，底面积为S。 若甲的密度为2103千克/米3，求甲的体积V甲。 现有一底面积为2
25、S、高度足够高的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后水对容器底部的压强p水，如下表所示。放入物体前放入物体后P水（帕）p01.5p0乙图110.2米甲. 求甲放入后水深度的变化量Dh水。. 求p0的大小。【答案】1.510-3米3；. 0.1米；. 1960帕。 【解析】 V甲m甲/甲3千克/2103千克/米31.510-3米3.设水原来的深度为h0，则水的体积V水=2sh0假设将甲竖直放入其中至容器底，水面没有超出甲的顶部，水深: hV水/S水=2Sh0/S=2h0 则水的压强为 p水水gh2 p0 而题目给的压强是p水1.5 p0与假设矛盾，所以
26、甲一定被浸没。水升高的高度为：Dh水 V甲/2s=0.2米s/2s0.1米. Dp水水gDh水1.0103千克/米39.8牛/千克0.1米980帕 Dp水1.5p0p00.5 p0p02 p水1960帕12. 底面积为110-2米2的薄壁圆柱形容器A（容器足够高）放在水平地面上，里面盛有0.2米深的水，如图12所示。将一质量为6千克、底面积为510-3米2的实心圆柱体B竖直放入容器A中，待水静止后，上表面露出水面高度为0.1米，求：图12AB（1）容器中水的质量m水；（2）金属圆柱体B的密度B。【答案】（1）2千克；（2）2.4103kg/m3 。 【解析】V=Sh110-2m20.2m210
27、-3m-3 m水V1.0103kg/m3210-3m32kg 若F浮B=GB则 h浸B=F浮B/水gSB=1.2m h水最大= 0.4m 不成立 B物体触底 hB= 0.5米 VB=SBhB510-3m20.5米2.510-3m3 BmB/VB6kg/2.510-3m32.4103kg/m3 13如图13所示，质量为0.5千克，底面积为210-2米2的圆柱形薄壁容器至于水平地面中央，容器内放有一个边长为0.1米，质量为2.5千克的正方体物块A。求物块A的密度物。求容器对水平地面的压强p地。在容器中倒入3103米3的水，物块仍沉底且水未溢出，求水对物块顶部的压强p顶。图13A 【答案】2.510
28、3千克/米3；1470Pa；980Pa。【解析】正方体物块的体积：V物=L3=（0.1米）3=10-3米3 物块的密度：物=m/V = 2.5千克/10-3米3 =2.5103千克/米3 容器对水平地面的压力： F=G=（m容+m物）g=（0.5kg+2.5kg）9.8N/kg=29.4N 容器对水平地面的压强： P地F/ S29.4牛/210-2米2=1470帕；容器内液体的深度：h=（V水 + V物）/S=（310-3米3+10-3米3）/210-2米2=0.2米 物块顶部所处的深度：h顶=h-L=0.2米-0.1米=0.1米 水对物块顶部的压强：p顶=水gh顶=1.0103kg/m39.8N/kg0.1m=980Pa
