1、有理数的概念知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初一，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习正负数、数轴、相反数、绝对值的概念；核心部分是相反数的概念、数轴和绝对值性质的运用。知识梳理讲解用时：20分钟正数、负数 1、正数与负数像+3、+1.5、+584等大于0的数，叫做正数； 像3、1.5、584等在正数前面加“”号的数，叫做负数2.要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负
2、（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.数轴1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位有km、m、dm、cm等 （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用
3、数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.相反数 绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的
4、绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数
5、大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，ab；反之成立4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立若a、b为任意负数，则与上述结论相反5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.课堂精讲精练【例题1】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数
6、，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1） 这8名男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少引体向上？【答案】（1）62.5%；（2）56个【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.讲解用时：3分钟解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习1.1】
7、 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数如果收入100元记作+100元那么80元表示（）A支出20元 B收入20元 C支出80元 D收入80元【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则80表示支出80元故选：C讲解用时：2分钟解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【例题2】如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) A(1)(2)(3)
8、B(2)(3)(4) C只有(2) D(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.讲解用时：3分钟解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可教学建议：对学生强调数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习2.1】 填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是_；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有_个【答案】5； 5个.【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点
9、表示的数是5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个讲解用时：2分钟解题思路：准确画出数轴，即可得出答案教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题3】 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A点A B点B C点C D点D【答案】A 【解析】解：表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A故选A讲解用时：3分钟解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数根据定义，结合数轴进行分析 教学建议：引导学生观察总
10、结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习3.1】 的相反数是（）A5 B C D.-5【答案】B 【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B讲解用时：3分钟解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.教学建议：熟练掌握相反数的定义.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【例题4】当a0时，请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b0，且，求的值【答案】 （1）
11、；（2）.【解析】解：（1）当a0时，=1；当a0时，=1；（2），a，b异号，当a0，b0时，=1；当a0，b0时，=1；讲解用时：3分钟解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习4.1】计算：已知|x|=，|y|=，且xy0，求6（xy）的值【答案】36【解析】解：|x|=，|y|=，且xy0，x=，y=，6（xy）=6（+）=36讲解用时：4分钟解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答
12、案教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x，y的值是解题关键难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题5】如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a,b,c，化简|ab|a+c|+|bc|【答案】2c【解析】解：由数轴得，c0，ab0，因而ab0，a+c0，bc0原式=ba+a+c+cb=2c讲解用时：3分钟解题思路：由数轴可知：c0，ab0，所以可知：ab0，a+c0，bc0根据负数的绝对值是它的相反数可求值教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019
13、【练习5.1】已知|a1|=9，|b+2|=6，且a+b0，求ab的值【答案】0或12【解析】解：|a1|=9，|b+2|=6，a=8或10，b=8或4，a+b0，a=8，b=8或4，当a=8，b=8时，ab=8（8）=0，当a=8，b=4时，ab=84=12综上所述，ab的值为0或12讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题6】 有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：bc0，a+
14、b0，ca0（2）化简：|bc|+|a+b|ca|【答案】（1），；(2)2b【解析】解：（1）由图可知，a0，b0，c0且|b|a|c|，所以，bc0，a+b0，ca0；故答案为：，；（2）|bc|+|a+b|ca|=（cb）+（ab）（ca）=cbabc+a=2b讲解用时：3分钟解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习6.1】已知a、b、c都是负数，且，则x + y + z_0（填“”、“”、“=”）【答案】【解析】
15、利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c0讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题7】 已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值【答案】125或1【解析】解：|b|=2，b=2，当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；当b=2时，（a+b）3=（32）3=1，综上所述，（a+b）3的值为125或1讲解用时：3分钟解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出
16、值教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习7.1】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|ab|利用数形结合思想回答下列问题：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和3的两点之间的距离是数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为|数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为若x表示一个有理数，则|x1|+|x+3|的最小值=若x表示一个有理数，且|x+3|+|x2|=5，则满足条件的所有整数x的是若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x3
17、|+|x5|有最小值为若1x4，化简|x+1|+|4x|【答案】 3，4； |x+2|，|5x|； 4； 3或2或1或0或1或2； 3，7；【解析】解：数轴上表示2和5两点之间的距离是52=3，数轴上表示1和3的两点之间的距离是1（3）=4，故答案为：3，4；数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为|x（2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5x|，故答案为：|x+2|，|5x|；当x3时，|x1|+|x+3|=1xx3=2x2，当3x1时，|x1|+|x+3|=1x+x+3=4，当x1时，|x1|+|x+3|=x1+x+3=2x+2，在数轴上|x1|+|x+3|的几何意义
18、是：表示有理数x的点到3及到1的距离之和，所以当3x1时，它的最小值为4，故答案为：4；当x3时，|x+3|+|x2|=x3+2x=2x1=5，解得：x=3，此时不符合x3，舍去；当3x2时，|x+3|+|x2|=x+3+2x=5，此时x=3或x=2或0或1或2；当x2时，|x+3|+|x2|=x+3+x2=2x+1=5，解得：x=2，此时不符合x2，舍去；当x=0时，|x+3|+|x2|=5；当x=1时，|x+3|+|x2|=5；当x=1时，|x+3|+|x2|=5；故答案为：3或2或1或0或1或2；设y=|x+2|+|x3|+|x5|，i、当x5时，y=x+2+x3+x5=3x6，当x=5
19、时，y最小为：3x6=356=9；ii、当3x5时，y=x+2+x3+5x=x+4，当x=3时，y最小为7；iii、当2x3时，y=x+2+3x+5x=10x，此时y最小接近7；iiii、当x2时，y=x2+3x+5x=6x，此时y最小接近8；y的最小值为7故答案为：3，7讲解用时：4分钟解题思路：在数轴上A、B两点之间的距离AB=|ab|，依此即可求解；根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；首先将原式变形为y=|x1|+|x+3|，然后分别从当x1时，当3x1时，当x3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；当x3时，当3x2时，当x2时，当x=1，当x=1，当x=0去
20、分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；当x5时，当3x5时，当2x3时，当x2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键注意分类思想的运用难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019课后作业【作业1】 下列说法正确的是（）A. 一个数的绝对值一定比0大B. 一个数的相反数一定比它本身小C. 绝对值等于它本身的数一定是正数D. 最小的正整数是1【答案】D 【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身
21、大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019【作业2】 一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】 108【解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+
22、10+8+6+12+1054(cm) 小虫得到的芝麻数为542108(粒) 讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019【作业3】 同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离如|x3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离试探索：（1）求|5（2）|=（2）若|x3|=|x+1|，则x=【答案】 （1）7；（2）1.【解析】解：（1）|5（2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）由题意得：x3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019
